Aufgabe (Spendenparty):
Auf der Party sollen Spenden für die Einrichtung eines neuen Studentencafés "Café B" gesammelt werden. Es werden Tische, Stühle, eine Zapfanlage und vieles weitere benötigt. Insgesamt gehen \( m \) Spenden \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m} \in \mathbb{N} \) ein (\( m \geq 1 \) und jede Spende \( a_{i} \) ist ein ganzzahliger Eurobetrag). Ein Tisch kostet \( t \) Euro, wobei \( t \in[m] . \) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über \( m \), dass Zahlen \( k, \ell \in[m] \) mit \( k \leq \ell \) existieren, sodass die Summe der Spendenbeträge \( \sum \limits_{s=k}^{\ell} a_{s} \) genau ausreicht, um \( x \) Tische zu kaufen \( (x \in \mathbb{N}) \), ohne dass Restgeld übrig bleibt.
Hinweis: Betrachten Sie Mengen der Form \( F_{j}=\left\{i \in[m]: \sum \limits_{s=i}^{m} a_{s} \equiv j\right. (\bmod m)\} \) und wenden Sie das Schubfachprinzip an.
