Aufgabe:
Aufgabe 3. Unter folgenden Aussagen sind einige falsch! Widerlegen Sie diese durch Angabe jeweils eines expliziten Gegenbeispiels \( (f, g:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} \text { stetig }) \)
1. Ein Polynom \( \in \mathbb{R}[x] \) vom Grad \( \leq n \in \mathbb{N} \) hat eine Nullstelle in \( \mathbb{R} \) oder es ist konstant.
2. Ein Polynom \( \in \mathbb{R}[x] \) von ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle in \( \mathbb{R} \).
3. Hat ein Polynom \( p(x) \in \mathbb{R}[x] \) vom Grad \( n+1 \) die paarweise verschiedenen Nullstellen \( x_{0}, \ldots, x_{n}, \operatorname{dann} p(x)=c\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right), \) wobei \( 0 \neq c \in \mathbb{R} \)
4. Ein Polynom \( \in \mathbb{R}[x] \) vom Grad \( n \in \mathbb{N} \) hat höchstens \( n-1 \) paarweise verschiedene Extrema.
5. Jedes Polynom \( \in \mathbb{R}[x] \) vom Grad \( n \in \mathbb{N} \) hat genau \( n-1 \) paarweise verschiedene Extrema.
\( 6 . \int \limits_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x+\int \limits_{a}^{b} g(x) d x \)
7. \( \int \limits_{a}^{b}(f(x) \cdot g(x)) d x=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x \cdot \int \limits_{a}^{b} g(x) d x \)
8. \( \int \limits_{a}^{b} e^{f(x)} d x=e^{\int \limits_{a}^{b} f(x) d x} \)
