Die Aussage ist wahr, das sieht man folgendermaßen:
Re und Im sind Funktionen von ℂ nach ℝ, das heißt
Re(z), Im(z) ∈ ℝ ∀z∈ℂ
Daraus folgt aber, dass Im(Re(z)) ≡ 0 ist, völlig gleichgültig, was man für z einsetzt.
Außerdem bedeutet das, dass Re(Im(z)) ≡ Im(z) ist, da Im(z) selbst nur eine reelle Zahl ist. Wenn man also ihren Realteil nimmt, bleibt genau die gleiche Zahl übrig.
Was da steht ist also äquivalent zu:
∀z∈ℂ: Im(z) = 0 ⇔ z ∈ ℝ
Hat z die Form z=x+iy mit x, y ∈ ℝ, dann gilt Im(z) = y.
Die Aussage Im(z) = 0 ist also identisch mit z = x∈ℝ, also z∈ℝ.