Schönen Abend! Ich habe folgende Aufgabe
(1) Wir nehmen an, dass \( \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: t \mapsto \) \( \log \hat{\mu}(t) \) wohldefiniert, differenzierbar und strikt konvex ist. Zeigen Sie, dass \( \varphi^{\prime}: \mathbb{R} \rightarrow \varphi^{\prime}(\mathbb{R}) \) invertierbar ist; und wenn wir mit \( t: \varphi^{\prime}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \) die Inverse
bezeichnen, dann gilt für die Cramér-Transformierte
$$ I_{\mu}(\alpha)=\log \hat{\mu}(t(\alpha))-t(\alpha) \alpha, \alpha \geq \mathbb{E}(X) $$
(2) Bestimmen und skizzieren Sie mit Hilfe des ersten Teils die Cramér-Transformierte \( I_{\mu} \) für den Fall, dass die Zufallsvariablen \( \left(X_{i}\right) \) u. i. v. Bernoulli-verteilt sind
$$
\operatorname{mit} \mathbb{P}\left(X_{i}=0\right)=\mu(\{0\})=p_{0} \in(0,1) \text { und } \mathbb{P}\left(X_{i}=1\right)=\mu(\{1\})=p_{1}:= 1-p_{0} \]
Interpretieren Sie das Ergebnis an Hand des Gesetztes der großen Abweichungen.
Mein Ansatz wäre, dass man eine Folge (Xn) unabh. ident. verteilter ZV’en mit X1 ' µ bestimmt, allerdings weiß ich nicht wie man da weitermacht. Hat jemand eine idee wie man dass zeigt?
