Zeigen Sie, dass das Polynom z^2 + 1 in C (Komplex) genau zwei Nullstellen hat

Question

WIe im Titel beschrieben, soll ich zeigen, dass:

Zeigen Sie, dass das Polynom z^2 + 1 in C (Komplex) genau zwei Nullstellen hat.

 

Ich habe überhaupt KEINE ahnung wie man so etwas zeigen soll.

Answer 1

Durch Ausrechnen oder mit der 3. binomischen Formel erkennt man, dass

z²+1 = (z+i)(z-i) gilt.

Nun ist ein Produkt genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist.

Das heißt:
z²+1 ist 0 genau dann, wenn z+i=0 oder z-i=0 gilt.

⇔

z²+1 ist 0 genau dann, wenn z = -i oder z=i gilt.

Das heißt, z²+1 hat genau zwei Nullstellen, nämlich bei z=i und z=-i.