Wir suchen einen guten Näherungswert für sqrt(5)

Question

Hallo. Wie löse ich diese Aufgaben?

Sei \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) mit
1 von 2
$$ f(x)=\frac{e^{2 x}}{1-x^{2}} $$
a.) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich \( D \) von \( f \) an.
b.) Berechnen Sie das Taylorpolynom \( T_{f}^{2}\left(x, x_{0}\right) \) zweiten Grades von \( f \) im Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 . \) Berechnen Sie ohne Taschenrechner mit Hilfe des Taylorpolynoms einen Näherungswert für den Funktionswert \( f\left(\frac{1}{2}\right) \)
Aufgabe 2 Wir suchen einen guten Näherungswert für \( \sqrt{5} \) Betrachten Sie dazu die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\sqrt{x} \)
a.) Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen von \( f \)
b.) Berechnen Sie das Taylorpolynom \( T_{f}^{3}\left(x, x_{0}\right) \) dritten Grades von \( f \) im Entwicklungspunkt
$$ x_{0}=4 $$
c.) Berechnen Sie ohne Taschenrechner einen gekürzten Bruch als Näherungswert für \( \sqrt{5} \)

Comments

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Berechnen Sie ohne Taschenrechner einen gekürzten Bruch als Näherungswert für \(\sqrt 5\)

.. nach dem Heronverfahren: schätze \(\sqrt 5 \approx x_0 = 2\) $$\begin{aligned} x_0 &= 2 && \to x_0' = \frac 5{x_0} = \frac 52 \\ x_1 &= \frac {x_0 + x_0'}2 =  \frac 94 && \to x_1' = \frac {5}{x_1} = \frac {20}9 \\ x_2 &=  \frac {x_1 + x_1'} 2 \\&= \frac{81 + 80}{36 \cdot 2} = \frac {161}{72}\end{aligned}$$bis hierher geht's noch leicht im Kopf ;-)

Answer 1

1.

a.) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich D von f an.

Du weißt, dass der Nenner nicht Null werden darf. Schaffst du es die Werte für x aus der Definitionsmenge zu nehmen, für die genau das passiert?

b)

T2(x) = 3·x^2 + 2·x + 1

2.

T3(x) = 2 + 1/4·(x - 4) - 1/64·(x - 4)^2 + 1/512·(x - 4)^3

T3(5) = 1145/512