$$\begin{aligned}y & =\frac{e^{2x}-1}{e^{x}\cdot2} & & |\,\cdot2e^{x}\\2ye^{x} & =e^{2x}-1 & & |\,\text{Potenzgesetz anwenden}\\ 2ye^{x}& =\left(e^{x}\right)^{2}-1 & & |\,-\left(e^{x}\right)^{2}\\-\left(e^{x}\right)^{2}+2ye^{x} & =-1 & & |\,\cdot\left(-1\right)\\\left(e^{x}\right)^{2}-2ye^{x} & =1 & & |\,+y^{2}\\\left(e^{x}\right)^{2}-2ye^{x}+y^{2} & =1+y^{2} & & |\,\text{binomische Formel}\\\left(e^{x}-y\right)^{2} & =1+y^{2} & & |\,\sqrt{\phantom{99}}\\e^{x}-y & =\sqrt{1+y^{2}} & & |\,+y\\e^{x} & =y+\sqrt{1+y^{2}} & & |\,\ln\\x & =\ln\left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\end{aligned}$$
Durch Wurzelziehen wird auf der linken Seite ein Quadrat eliminiert. Wenn man Wurzeln auf diese Weise verwendet, dann kommt auf die andere Seite der Gleichung normalerweilse in \( \pm\sqrt{\phantom{99}} \). Im vorliegenden Fall kann man darauf aber verzichten, weil \( y \pm \sqrt{1+y^2} \geq 0 \) sein muss, und das gilt nur für \( y + \sqrt{1+y^2} \), nicht für \( y - \sqrt{1+y^2} \).
