Question

Wir suchen die Umkehrfunktion von y=((e^2x)-1)/((e^x)*2) am besten mit kurzer Erklärung zum Rechenweg und der Zusammenfassung von ^2x und ^x

$y = \dfrac { e^{2x}-1 } { e^x \cdot 2}$

Answer 1

$$\begin{aligned}y & =\frac{e^{2x}-1}{e^{x}\cdot2} & & |\,\cdot2e^{x}\\2ye^{x} & =e^{2x}-1 & & |\,\text{Potenzgesetz anwenden}\\ 2ye^{x}& =\left(e^{x}\right)^{2}-1 & & |\,-\left(e^{x}\right)^{2}\\-\left(e^{x}\right)^{2}+2ye^{x} & =-1 & & |\,\cdot\left(-1\right)\\\left(e^{x}\right)^{2}-2ye^{x} & =1 & & |\,+y^{2}\\\left(e^{x}\right)^{2}-2ye^{x}+y^{2} & =1+y^{2} & & |\,\text{binomische Formel}\\\left(e^{x}-y\right)^{2} & =1+y^{2} & & |\,\sqrt{\phantom{99}}\\e^{x}-y & =\sqrt{1+y^{2}} & & |\,+y\\e^{x} & =y+\sqrt{1+y^{2}} & & |\,\ln\\x & =\ln\left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\end{aligned}$$

Durch Wurzelziehen wird auf der linken Seite ein Quadrat eliminiert. Wenn man Wurzeln auf diese Weise verwendet, dann kommt auf die andere Seite der Gleichung normalerweilse in $\pm\sqrt{\phantom{99}}$. Im vorliegenden Fall kann man darauf aber verzichten, weil $y \pm \sqrt{1+y^2} \geq 0$ sein muss, und das gilt nur für $y + \sqrt{1+y^2}$, nicht für $y - \sqrt{1+y^2}$.

Comments

Wow! Danke @Oswald!! wären wir in 100 Jahren nicht draufgekommen.

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Nenne drei Umformungen, die dich überascht haben.

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die quadratische Ergänzung umauf die binomische Formel zu kommen.....aber es scheint ja, dass wenn man zB e^2x und e^x hat, es immer auf eine binomische Formel hinausläuft.

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Wäre da die blöde -1 im Zähler nicht, dann hätte man einfach kürzen können.