Umkehrfunktion von : (1-e^{2x})/(1+e^{2x})

Question

ich komme einfach nicht auf die Umkehrfunktion von: (1-e^{2x})/(1+e^{2x}).

Bitte mit Erklärung !

Answer 1

Nach Multiplikation mit dem Nenner: y+ye^2x=1-e^2x. Und dann ye^2x+e^2x=1-y oder nach Ausklammern von e^2x:

e^2x=(1-y)/(1+y). Jetzt Logarithmieren 2x=ln[(1-y)/(1+y)]. Durch 2 dividieren sowie x und y vertauschen.

Answer 2

y= (1-e^{2x})/(1+e^{2x})

y+e^{2x}*y= 1-e^{2x}

e^{2x}y+e^{2x} = 1-y

e^{2x}*(y+1) = 1-y

e^{2x} =(1-y)/(y+1)

2x = ln((1-y)/(y+1))

x= ...

Vertausche dann x und y

Es gilt: lnx/2 = 1/2*ln x = ln x^{1/2} = ln √x

Answer 3

( 1 - e^{2x} ) / ( 1 + e^{2x} ) = y

 1 - e^{2x}   =    ( 1 + e^{2x} ) * y

1 - e^{2x}   =    y  +y* e^{2x}

1  -  y      =   y* e^{2x}  +  e^{2x}

1  -  y      =   (y+1)* e^{2x}

(1 - y) / ( 1 + y ) =   e^{2x}

ln( (1 - y) / ( 1 + y ) )   =   2x

0,5 * ln( (1 - y) / ( 1 + y ) )   =   x

Umkehrfunktion also

f^{-1}(x) =  0,5 * ln( (1 - x) / ( 1 + x ) )