Hallo. Wie löse ich diese Aufgaben?
Wie in Aufgabe 3 auf Blatt 7 betrachten wir die Hyperbelfunktionen cosh und sinh. Zur Erinnerung:
2 von 2 alle \( x \in \mathbb{R} \) ist
$$ \cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad \text { und } \sinh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} $$
a.) Berechnen Sie die Taylorpolynome dritten, vierten, fünften und sechsten Grades im Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) für die Funktionen \( \cosh (x) \) und \( \sinh (x) \)
b.) Bestimmen Sie die Potenzreihen \( T_{\cosh }(x, 0) \) und \( T_{\sinh }(x, 0) \)
Zusatzaufgabe: (ohne Abgabe) Überlegen Sie sich mit Hilfe der Definition der Exponentialfunktion, wieso für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt: \( \cosh (x)=T_{\cosh }(x, 0) \) und \( \sinh (x)=T_{\sinh }(x, 0) \)
Aufgabe 4
Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}+10 x^{2}+33 x+36 \)
a) Entwickeln Sie \( f \) an der Stelle \( x_{0}=-4, \) berechnen Sie also das Taylorpolynom \( T_{f}^{3}(x,-4) \) Bestimmen Sie dann die Nullstellen von \( f \)
b) Bestimmen Sie alle Wendestellen von \( f \)
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