Wieso ist (dy^2/dx^2) = f(x)?

Question

Aufgabe:

Bei der Bogenlänge haben wir ja:

ds^2 = (1 + dy^2/dx^2) * dx^2

Wieso ist (dy^2/dx^2) = f'(x) ?

Weil ds^2 = (1 + f'(x) ) dx^2

also ds = Wurzel(1+f'(x)) * dx

Verstehe nicht, wieso es die Ableitung ist.

Kann mir das jemand erklären? Bezogen auf die Bogenlänge

Answer 1

Hallo,

das ist unsauber aufgeschrieben und daraus falsch umgeformt.

Richtig wäre

ds^2 = (1 + (dy/dx)^2) * (dx)^2

= (1+f'(x)^2)*(dx)^2

dy/dx ist die Notation der ersten Ableitung.

Answer 2

Aloha :)

Nach Pythagoras gilt für das Differtential \(ds\) der Bogenlänge:$$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2=\left(1+\frac{(dy)^2}{(dx)^2}\right)(dx)^2=\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)(dx)^2$$$$\Rightarrow\quad ds=\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$