Vorzeichen vom Signum begründen

Question

Aufgabe:

Sei U ⊂ S₄ eine Untergruppe der Symmetrischen Gruppe. Die Untergruppe U hat 8 Elemente.

a) Begründe, warum es ein u ∈ U mit sgn(u)=1 gibt

b) Begründe, warum es ein u ∈ U mit sgn(u)=-1 gibt

Sgn hängt von der Anzahl der Transpositionen ab. Aber ich bin nicht sicher wie man das begründen soll

Hat jemand eine Idee ?

Answer 1

Hallo,

eine Möglichkeit wäre:

U ist eine Untergruppe, enthält also das neutrale Element der Gruppe S₄ (die Identität) und dessen Signum ist = 1.

Angenommen alle Elemente in U hätten jetzt Signum 1, dann wäre U auch eine Untergruppe der Gruppe A₄  (nach Annahme ist es nämlich eine Teilmenge, Gruppeneigenschaft ist gegeben).

A₄  hat die Ordnung 4!/2 = 12. Nach dem Satz von Langrange teilt die Ordnung einer Untergruppe stets die Gruppenordnung. Es folgt 8 teilt 12. Widerspruch.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Gruppe

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange