Betrachten wir mal $$ W_2 = \left\langle \underbrace{\begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix}}_{:= v_1}, \underbrace{\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}}_{:= v_2} , \underbrace{\begin{pmatrix} -2\\4\\-2 \end{pmatrix}}_{:= v_3} \right\rangle $$
Dann betrachtet man die Smith-Normalform
https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_normal_form
der Matrix \( A = ( v_1 ~ v_2 ~v_3 ) \): Es existieren reguläre Matrizen S, T s.d.
$$ \begin{pmatrix}1\\ & 2 \\ && 6 \end{pmatrix}=SAT $$
bzw.
$$ S^{-1} \begin{pmatrix}1\\ & 2 \\ && 6 \end{pmatrix} = AT $$
In den Spalten von \( S^{-1} \) steht eine Basis \( (w_1, w_2, w_3) \) von \( \mathbb{Z}^3 \). Da T regulär ist kann man es als Produkt von Elementarmatrizen schreiben, und die wirken nun von rechts auf A, d.h. als Spaltenperationen. Man kann die \( v_i \) also so miteinander addieren und tauschen, dass \( 1w_1, 2w_2, 6w_3 \) rauskommt. Am aufgespannten Modul ändert das aber nichts => \( W_2 = \langle w_1, 2w_2, 6w_3 \rangle \)
Insgesamt:
$$ \begin{aligned} \frac{\mathbb{Z}^3}{W_1} &= \frac{\langle w_1,w_2,w_3\rangle}{\langle w_1, 2w_2, 6w_3 \rangle} \\&= \frac{\langle w_1\rangle \oplus \langle w_2\rangle \oplus \langle w_3\rangle}{\langle w_1\rangle \oplus \langle 2w_2\rangle \oplus \langle 6w_3\rangle} \\&\cong \frac{\langle w_1\rangle}{\langle w_1\rangle} \oplus \frac{\langle w_2\rangle}{\langle 2w_2\rangle} \oplus \frac{\langle w_3\rangle}{\langle 6w_3\rangle} \\&\cong \mathbb{Z}/1\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{aligned}$$
Die Anzahl der Elementarteiler ist eindeutig, die Elementarteiler nur bis auf Assoziiertheit (folgt aus dem Elementarteilersatz für Matrizen), die Matrizen S und T sind nicht eindeutig, aber das ist egal.
