Hallo,
Links steht der Dualraum der direkten Summe, die Elemente sind lineare Abbildungen
$$ f :\bigoplus_{i\in I} V_i \to K $$
Rechts steht das direkte Produkt der Dualräume, die Elemente sind Familien \( (f_i)_{i\in I} \), wobei \( f_i : V_i\to K\) lineare Abbildungen sind.
Der Isomorphismus muss dieses f jetzt irgendwie auf eine solche Familie schicken. Naheliegend wäre mit den natürlichen Inklusionen: $$ \iota_i : V_i \hookrightarrow \bigoplus_{i\in I} V_i $$
Die folgende Abbildung zu betrachten:
$$ f \mapsto ( \underbrace {f \circ \iota_i }_{V_i\to K})_{i\in I} $$
Dass das linear ist rechnet man einfach nach.
Die Bijektivität folgt dann aus der universellen Eigenschaft der direkten Summe:
Betrachte eine Familie $$ (g_i)_{i\in I} \in \prod_{i\in I} V_i $$ dann sind das lineare Abbildungen \( V_i \to K \). Die UE sagt nun es existiert (=> Surjektivität, denn jedes Element hat ein Urbild) genau eine (=> Injektivität) lineare Abbildung
$$ g : \bigoplus_{i\in I} V_i \to K $$
s.d. \( g \circ \iota_i = g_i \) für alle \( i\in I\).
Hier kannst du die universelle Eigenschaft nochmals nachlesen:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Direct_sum_of_modules#Universal_property
