Hallo,
die Menge \( D \) beschreibt eine Gerade \( \{ a \cdot (1, 1, \dots, 1)^T : a \in \mathbb{R} \} \cong \mathbb{R} \).
Ich denke, man fasst zwei Vektoren \( u, v \in \mathbb{R}^n \) als äquivalent auf, wenn \( u - v \in D \) liegt. Die Menge der so entstehenden Äquivalenzklassen bezeichnet man als \( \mathbb{R}^n / D \).
Ein Isomorphismus ergibt sich aus einer Projektion \( P \) auf den zu \( D \) orthogonalen Unterraum, sodass also \( P(v) - v \in D \) für alle \( v \in \mathbb{R}^n \).
Die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion auf die zum Vektor \( d = (1, 1, \dots, 1) \) orthogonale Hyperebene findet man über \( P = E_n - \frac{1}{n} d d^T \), wobei \( d d^T \) das dyadische Produkt ist und daher eine Matrix ergibt. Es handelt sich für unser konkretes \( d \) um eine Matrix, die in jedem Element den Eintrag \( 1 \) hat.
Man rechnet nach, dass \( Pv - v \in D \) liegt:
\( Pv - v = (E_n - \frac{1}{n} d d^T) v - v \)
\( = - \frac{1}{n} d d^T v \)
\( = d \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n v_i \in D \).
Außerdem ist
\( P^2 = (E_n - \frac{1}{n} d d^T)^2 \)
\( = E_n - 2 \frac{1}{n} d d^T + \frac{1}{n} d d^T \)
\( = E_n - \frac{1}{n} d d^T = P \).
Hinsichtlich der Orthonormalbasis \( \{u_1, \dots, u_{n-1} \} \) von \( D^\perp \) hat \( P \) eine Darstellung der Form
\( P = \sum_{i=1}^{n-1} c_i u_i \) (Gleichung (1)).
Schränken wir \( P \) auf sein Bild \( \mathbb{R}^n / D \cong \mathrm{im}(P) = D^\perp \cong \mathbb{R}^{n-1} \) ein, so haben wir mit Gleichung (1) einen Isomorphismus zum \( \mathbb{R}^{n-1} \) gefunden.
Hierbei nehmen wir an, dass uns \( \mathrm{im}(P) \) kanonische Repräsentanten von \( \mathbb{R}^n / D \) im \( \mathbb{R}^n \) liefert, sodass man auch \( \mathbb{R}^n / D = \mathrm{im}(P) \) schreiben könnte.
Grüße
Mister
