Geben sie einen isometrischen Isomorphismus an

Question

Geben sie einen isometrischen Isomorphismus \(α : \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \mathbb{R}^{m\cdot n}\) an.

Ist es richtig, wenn ich hier einfach die Abbildung \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}\) angebe? Schließlich wird jeder beliebige Vektor genau auf einen anderen abgebildet, nämlich sich selbst (linearität/bijektivität). Somit sind auch die Abstände zwischen zwei Vektoren und zwischen den Abbildungen der beiden identisch, da es ja die selben Vektoren sind (isomorph). Denke ich zu einfach oder wäre die Aufgabe damit gelöst?

Answer 1

Deine Matrix beschreibt allenfalls eine Abbildung von

R^2 nach R^2. Du brauchst aber \(α : \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \mathbb{R}^{m\cdot n}\).

Im Definitionsbereich sind mxn Matrizen und der Zielbereich sind die Spaltenvektoren

mit m·n Komponenten. Also könnte das z.B. so aussehen ( bei 2 und 3 )

$$\begin{pmatrix} a & b &c\\ d&e&f \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e\\f \end{pmatrix}$$