Für welche Umgebung löst sich Gleichung lokal auf?

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Für Umgebungen welcher Punkte} \left(x_{0}, y_{0}\right) \text{ lässt sich die Gleichung }\\ y^{2}=x^{3}+x^{2}  \text{ jeweils lokal nach y auflösen? }$$

Und wo lässt sie sich lokal nach x auflösen? Illustrieren Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll in einem Diagramm.

Auch hier bin ich mal wieder ratlos. Das ist das erste mal das ich solche Aufgaben löse und ich habe keine Ahnung wie man hier vorgehen muss.

Comments

Wo hängt es denn genau?

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Soll denn hier vorausgesetzt werden, dass der Punkt  P₀ (x₀ , y₀)  ein Punkt auf der durch die Gleichung beschriebenen Kurve ist ?

Die Kurve kann man sich beispielsweise plotten lassen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot++y%5E2+%3D+x%5E3+%2B+x%5E2

Nun kann man sehen, dass man (falls wie gesagt der Kurvenpunkt P₀ vorgegeben ist) die Gleichung in fast allen Fällen lokal (in einer genügend kleinen Umgebung von P0) sowohl nach x als auch nach y auflösen kann.

Ausnahmen sind natürlich:

(1.)  der "Kreuzungspunkt" O(0,0)    ---> lokale Auflösung weder nach x noch nach y möglich

(2.)  die Punkte mit waagrechten Tangenten  --->  lokale Auflösung nach x nicht möglich

(3.)  der Punkt mit vertikaler Tangente →  lokale Auflösung nach y nicht möglich