Hallo,
das ist eine typische Anwendungsaufgabe zum Satz über implizite Funktionen aus der Analysis 2.
Definiere \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto y+xy^2-e^{xy}\), dann ist \(\nabla f (x,y)=\begin{pmatrix} y^2-ye^{xy}\\1+2xy-xe^{xy} \end{pmatrix}\). Wir sollen nun, ausgehend davon, dass \(x_0=0\) ein geeigenes \(y_0\) angeben. Es ist \(F_y(0,y_0)=1\) für alle \(y_0\in \mathbb{R}\). In diesem Fall ist das Leben ein Wunschkonzert, wir müssen nur darauf achten, dass \(F(0,y_0)=0\). Dies ist der Fall für \(y_0=1\). Nach dem Satz über implizite Funktionen, exisitiert nun eine Auflösungsfunktion \( \varphi : B_\varepsilon (0)\to B_\delta (1), y=f(x)\) und \(f(x,\varphi(x))=0\) für alle \(x\in B_\varepsilon (0)\).
Zuletzt gilt mit der Kettenregel:$$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{df}{dx}=0$$ Werte die Differentiale in \((0,1)\) aus und stelle nach \(\frac{df}{dx}\) um. Ich erhalte \(f'(0)=0\).
