Funktion in Umgebung auflösbar

Question

Aufgabe:

$$\text{ Ist } y+x y^{2}-\mathrm{e}^{x y}=0 \text{ in einer Umgebung von } \left(x_{0}, y_{0}\right) \text{ mit } \\ x_{0}=0 \text{ und geeignetem } y_{0} \text { nach } y=f(x) \text{auflösbar? Berechnen Sie ggf. auch } f^{\prime}(0)$$

Ich habe leider keine Ahnung wie man hier vorgehen muss. Ich hoffe ihr könnt mir helfen, vielen Dank im Voraus !

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Was ist dein Problem?

Answer 1

Hallo,

das ist eine typische Anwendungsaufgabe zum Satz über implizite Funktionen aus der Analysis 2.

Definiere $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto y+xy^2-e^{xy}$, dann ist $\nabla f (x,y)=\begin{pmatrix} y^2-ye^{xy}\\1+2xy-xe^{xy} \end{pmatrix}$. Wir sollen nun, ausgehend davon, dass $x_0=0$ ein geeigenes $y_0$ angeben. Es ist $F_y(0,y_0)=1$ für alle $y_0\in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist das Leben ein Wunschkonzert, wir müssen nur darauf achten, dass $F(0,y_0)=0$. Dies ist der Fall für $y_0=1$. Nach dem Satz über implizite Funktionen, exisitiert nun eine Auflösungsfunktion $\varphi : B_\varepsilon (0)\to B_\delta (1), y=f(x)$ und $f(x,\varphi(x))=0$ für alle $x\in B_\varepsilon (0)$.

Zuletzt gilt mit der Kettenregel:$$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{df}{dx}=0$$ Werte die Differentiale in $(0,1)$ aus und stelle nach $\frac{df}{dx}$ um. Ich erhalte $f'(0)=0$.