Beweisen Sie durch Kontraposition: g∘f injektiv ⇒f injektiv.

Question

Aufgabe:

Seien f:X→Y und g:Y→Z Abbildungen. Beweisen Sie durch Kontraposition:
g∘f injektiv ⇒f injektiv.
Tipp: Beachten Sie hier die Definition der Injektivitat: Ist x1≠x2, dann folgt f(x1)≠f(x2)

Answer 1

Hey Julia,

Beweis durch Kontraposition geht fast genauso wie der indirekte Beweis. Du gehst also vom Gegenteil der zweiten Aussage aus, also dass f nicht injektiv ist. Das bedeutet, dass es zwei unterschiedliche Werte der Urbildmenge \(x_1\neq x_2\) gibt, die eingesetzt in die Abbildung \(f\) den gleichen "Funktions"wert \(f(x_1)=f(x_2)\) liefern.

Bei der Kontraposition geht man zusätzlich noch davon aus, dass die Prämisse "\(g\circ f\) injektiv" wahr ist, damit wir gleich den offensichtlichen Widerspruch erzwingen.

Das ist deshalb ein Widerspruch, weil \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) für die beiden verschiedenen Urbildwerte \(x_1\neq x_2\) ja wegen \(f(x_1)=f(x_2)\) den selben Wert annimmt. Also \(g(f(x_1))=g(f(x_2))\) und das obwohl doch beide \(x\)-Werte verschieden sind. Das ist der Widerspruch zur Annahme, dass "\(g\circ f\) injektiv" wirklich wahr ist. Einzige Möglichkeit die noch über bleibt ist also, dass die ursprüngliche Aussage wahr sein muss.

Viel Spaß
MathePeter

Comments

Bei der Kontraposition geht man zusätzlich noch davon aus, dass die Prämisse "g∘f injektiv" wahr ist, damit wir gleich den offensichtlichen Widerspruch erzwingen.

Das wäre dann ein Widerspruchs-/indirekter Beweis aber kein Beweis per Kontraposition.

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Stimmt, vielen Dank, ich hab beide verwechselt. Kontraposition heißt nur \(A\Rightarrow B\) zu beweisen über \(\neg B\Rightarrow \neg A\). Genau wie MatHaeMatician sagt: Es geht bei der Kontraposition nicht darum den Widerspruch zu erzwingen, sondern nur den Beweis zu führen über "angenommen B ist falsch..." und daraus dann zu folgern, "A ist falsch". Das reicht, weil \(A\Rightarrow B\) äquivalent ist zu \(\neg B\Rightarrow\neg A\). Das folgt direkt aus der Wahrheitswertetabelle.

Also gleicher Weg nur den angekreideten Satz streichen :)