Zu (1) würde ich so vorgehen:
$$ \varphi((v_1 \otimes w_1)+(v_2 \otimes w_2))=(v_1 + w_1)+(v_2+w_2) \\ = \varphi(v_1 \otimes w_1)+\varphi((v_2 \otimes w_2) \\ \varphi( \lambda (v \otimes w))= \lambda (v+w)=\lambda \varphi (v \otimes w) $$
Damit ist die Aussage (1) richtig.
Eventuell müsstest du die 4 Vektoren noch in Spaltendarstellung hinzufügen.
Bei (2) gehst du dann analog vor.
Das erscheint mir allerdings ziemlich einfach. Vielleicht schaut ja noch jemand anders drüber.
Klar:
(2)
$$ \varphi\left(\left(\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \end{array}\right)\right) + \left(\left(\begin{array}{l} r_{1} \\ r_{2} \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{l} s_{1} \\ s_{2} \end{array}\right) \right)\right) \\ = (v_{1} w_{1}+v_{1} w_{2}-2 v_{2} w_{2})+(r_{1} s_{1}+r_{1} s_{2}-2 r_{2} s_{2}) \\ = \varphi(\left(\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \end{array}\right)\right)+\varphi(\left(\left(\begin{array}{l} r_{1} \\ r_{2} \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{l} s_{1} \\ s_{2} \end{array}\right)\right)$$
Hier habe ich die Vektoren v, w, r und s genannt um doppelte Indizes zu vermeiden.
$$ \varphi\left( \lambda \left( \left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \end{array}\right)\right)\right)\\ =\lambda (v_{1} w_{1}+v_{1} w_{2}-2 v_{2} w_{2})\\=\lambda\varphi\left(\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \end{array}\right)\right) $$
Sollte eigentlich passen, da du ja im Bereich der reellen Zahlen abbildest. Damit gelten Kommutativ-, Distributiv- und Assoziativgesetz. Somit hättest du nachgewiesen, dass diese Abbildungen additiv und homogen sind und damit lineare Abbildungen. Falls noch Fragen sind, melde dich einfach.
