Nullstellen, Extrema und Wendepunkte herausfinden

Question

Aufgabe:

1) y = ln(x^2 + 16)

Nullstellen, Extrema, Wendepunkte sind gesucht.

2) y= sin x + sin (2x)

Nullstellen, Extrema und Wendepunkte sind gesucht.

Problem/Ansatz:

Also bei der 1. Aufgabe habe ich als 1. Ableitung ln(2x), aber irgendwie kommt es mir falsch vor. Sie haben Als Lösung bei den Wendepunkten plusminus 4, und mit der 1. Ableitung bis zur 3. Ableitung, würde es nicht gehen

Bei der 2. Aufgabe habe ich einfach keine Ahnung mehr wie ich da genau vorgehen sollte. Sinus und Cosinus konnte ich noch nie richtig verstehen. Wenn ich es richtig in Erinnerung habe, muss ich da als erste Ableitung cosx und cos (2x) haben, aber auch da komme ich nicht auf die richtigen Lösungen, (als Nullstellen 2.09 und 4.19; als Extremas 0.94, 2.57, 3.71, 5.35, und als Wendepunkte : 0, pi, 2pi, 1.70, 4.59

Answer 1

f(x) = LN(x^2 + 16)

f'(x) = 2·x/(x^2 + 16)

f''(x) = 2·(16 - x^2)/(x^2 + 16)^2

Wenn du dir unsicher bist nehme zum Ableiten einen Vergleichsrechner wie https://www.ableitungsrechner.net

Alternativ geht z.B. auch die App Photomath für Ableitungen.

Photomath hilft dann auch beim Lösen von Gleichungen.

Answer 2

y ( x ) = sin (x) + sin (2x)

Die Ableitung des sin sind
f ( x ) = sin (x)
f ´( x ) = cos ( x )
f ´´ ( x ) = - sin ( x )
f ´´´ ( x ) = - cos ( x )

für f ( 2x )  gilt die Kettenregel f ´(2x ) = cos(2x) * 2
f ( x ) = sin (x) + sin (2x)
f ´ ( x ) = cos (x) + cos (2x) *2
f ´´ ( x ) = -sin (x) + (- sin (2x) * 2 * 2 )
f ´´´ ( x ) = -cos (x) +(- cos (2x) * 2 * 2 * 2 )

wie man allerdings
sin(x) + sin(2x) = 0
berechnet kann ich dir leider nicht sagen.

Comments

(1) sin(x) + sin(2x) = 0 berechnet man so:

Formelsammlung: (2) sin(2x)=2sin(x)cos(x) in (1) einsetzen:

sin(x) + 2sin(x)cos(x) = 0 ausklammern:

sin(x)(1+2cos(x))=0. Dann ist sinx=0 oder 1+2cos(x)=0.

Answer 3

zu 1) Nur ln(1)=0, also muss x² + 16=1 sein, damit y=0 ist. Dann aber wäre x²=-15, was keine reelle Lösung hat.

y'=2x/(x²+16). Für ein Exremum muss gelten 2x/(x²+16)=0. Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist und der Nenner nicht. Dies ist nur für x=0 der Fall.

y''=2(16-x²)/(x²+16)². Für x=0 ist y''>0 folglich liegt bei (0|ln(16)) ein Tiefpunkt.

Für einen Wendepunkt muss gelten: 2(16-x²)/(x²+16)²=0. Das ist für x=±4 der Fall. (4|ln(32)) und (-4|ln(32)) sind Wendepunkte.