Aloha :)$$f(x)=\ln(17-x^2)$$
a) Nullstellen bestimmen:$$\left.\ln(17-x^2)=0\quad\right|\;e^{\cdots}$$$$\left.17-x^2=e^0=1\quad\right|\;+x^2-1$$$$\left.16=x^2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.x=\pm4\quad\right.$$Damit haben wir folgende Nullstellen: \(N_1(-4|0)\) und \(N_2(4|0)\).
b) Extrema bestimmen:$$f'(x)=\left[\ln(17-x^2)\right]'=\underbrace{\frac{1}{17-x^2}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(-2x)}_{=\text{innere}}=-\frac{2x}{17-x^2}$$$$f''(x)=\left[-\frac{\overbrace{2x}^{=u}}{\underbrace{17-x^2}_{=v}}\right]'=-\frac{\overbrace{2}^{=u'}\cdot\overbrace{(17-x^2)}^{=v}-\overbrace{2x}^{=u}\cdot\overbrace{(-2x)}^{=v'}}{\underbrace{(17-x^2)^2}_{=v^2}}=-\frac{34+2x^2}{(17-x^2)^2}$$Die Kandidaten für Extrema finden wir dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$0\stackrel{!}{=}f'(x)\quad\Leftrightarrow\quad x=0$$Wir prüfen die Art des Extermums:$$f''(x)=-\frac{34}{17^2}<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum}$$Die Funktion hat einen Hochpunkt bei \(H(0|\ln(17))\).
c) Wendepunkte bestimmen:
Die zweite Ableitung ist für alle \(x\in\mathbb R\) negativ, daher gibt es keinen Wendepunkt.
