Nullstellen, Extrema und Wendepunkte bei e-Funktion berechnen

Question

Ich bin bei der 2. Aufgabe  und habe die Funktion von der 1. Aufgabe eingesetzt.

1.) Nullstellen

Ich wollte "x" ausklammern, wäre das dann

0=x*(1-a²x³*e^-ax)

Dann wäre x₀₁=0

Wäre x_02/3= ±√ ((1/a²)/(e^-ax  )) ????

Oder muss ich bei dem e auch das x ausklammern?

2.) Ableitungen ( ich habe die neue Funktion "g" gennant)

g_a (x)= x-a² x³ *e^-ax

g_a '(x)= 1-3a² x² *(-e^-ax ) ???( muss ich das "-" runter holen)

g_a "(x)= 6a²x *e^-ax   (dann ist das "-" ja jetzt wieder weg)

g_a '''(x)=6a² *(-e^-ax )

3.) Muss ich für die Extremstell, wenn ich g_a '(x) =0 setzte was mit "ln" rechnen, um das "-ax" runter zu bekommen?

Answer 1

Ich bin bei der 2. Aufgabe  und habe die Funktion von der 1. Aufgabe eingesetzt.

Das verstehe ich nicht.

1)

Nullstellen:

Gegen sei die Kurvenschar \(f_a(x)=x-a^2x^3\):$$f_a(x)=x(-a^2x^2)$$ 3. Binomische Formel:$$f_a(x)=x\cdot (1-ax)\cdot (1+ax)$$ Ableitungen:

\(f'_a(x)=1-3a^2x^2\)

\(f''_a(x)=-6ax^2\)

Ermittle die Nullstellen von \(f'_a(x)\), setze in \(f''_a(x)\) ein und bestimme Hoch- bzw. Tiefpunkt, indem du wieder in die Ausgangsfunktion einsetzt. Für den/die Wendepunkte ermittelst du die Nullstellen der 2. Ableitungen und setzt diese in die dritte ein.

2)

Nullstellen:

$$e^{ax}=0$$$$ax=ln(0)$$ Das \(\ln(0)\) ist nich definiert.

Ableitungen:

\(g_a'(x)=ae^{ax}\)

\(g_a''(x)=a^2\mathrm{e}^{ax}\)

\(g_a'''(x)=a^3\mathrm{e}^{ax}\)

Extrema und Wendepunkte, wie oben.

Comments

In der 2. Zeile unter "Nullstellen" fehlt vorn in der Klammer wohl der Summand 1,

f_a"(x) = 6a² x     ( ≠   6a x² )