Variablenpaare zur Auflösung finden

Question

Hallo, ich soll mir die Funktion $$f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y, z) \mapsto\left(\begin{array}{c} 3 x z+4 y z+2 x+3 y+2 z \\ 3 x+4 y z \end{array}\right)$$ anschauen und gucken, nach welchen Variablenpaaren sich f in einer Umgebung des Punkts (0,0,0) auflösen lässst. Gegebenenfalls soll die Auflösung berechnet werden.

Dazu habe ich zunächst den Gradienten berechnet mit $$\operatorname{grad} f(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 3z+2 & 4z+3 & 3x+4y+2 \\ 3 & 4z & 4y \end{array}\right)$$

Für den Satz über implizite Funktionen muss die jeweilige Teilmatrix für die Auflösung invertierbar
sein, also betrachte ich

$$\operatorname{grad} f(0, 0, 0)=\left(\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Nun möchte ich gucken, welche Teilmatrizen invertierbar sind, aber ich fühle mich bei dieser Aufgabe generell äußerst unsicher. War der Weg bisher überhaupt richtig und wie müsste ich weiter machen?

Answer 1

Hallo Jenny97,

bisher liegst du goldrichtig. Du musst nun nur noch, wie du sagst, die Teilmatrizen betrachten und schauen ob eben diese invertierbar sind. Es ist \(\frac{\partial f(0,0,0)}{\partial (x,y)}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\) und \(\frac{\partial f(0,0,0)}{\partial (y,z)}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) und \(\frac{\partial f(0,0,0)}{\partial (x,z)}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\). Die Funktion ließe sich also nicht nach dem Variablenpaar \((y,z)\) auflösen, denn \(\det \frac{\partial f(0,0,0)}{\partial (y,z)}=\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0\), jedoch sowohl nach \((x,z)\) als auch \((x,y)\).

Comments

Super, vielen Dank!