Lokale Auflösung verstehen

Question

ich brauche Hilfe beim Verstehen der Lösung dieser Aufgabe

Sei $f(x, y)=x^{3}+3 x y+y^{3}+3$
Zeigen Sie, dass die Gleichung $f(x, y)=0$ in einer Umgebung von $(1,-1)$ eine Auflösung der Form $y=\varphi(x)$ hat.
Hat $\varphi$ bei $x=1$ ein Extremum? Wenn ja, von welchem Typ?

Lösung

Implizites Differenzieren

$x^{3}+3 x y(x)+y(x)^{3}+3=0$

Ableiten nach $x$ :

$\Rightarrow 3 x^{2}+3 y(x)+3 x y^{\prime}(x)+3 y(x)^{2} y^{\prime}(x)=0$

$\Rightarrow y^{\prime}(\underbrace{(3 x+3 y(x)^{2}}_{\neq 0 \text { bei }(1,-1)}+3 x^{2}+3 y(x)=0.$

Damit ist die Funktion lokal auflösbar:

$y^{\prime}(1)=\frac{3-3}{3+3}=0$

Wie kommen die auf $y'(1) = \dfrac{3-3}{3+3} = 0$ ?

Answer 1

Aloha :)$$f(x,y)=x^3+3xy+y^3+3=0$$Da $f(x,y)$ mit der $0$ identisch ist, gilt dies auch für das Differential:$$0=df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\left(3x^2+3y\right)dx+\left(3x+3y^2\right)dy$$$$-\left(3x^2+3y\right)dx=\left(3x+3y^2\right)dy$$$$-\frac{\left(3x^2+3y\right)}{\left(3x+3y^2\right)}=\frac{dy}{dx}$$$$y'(x)=-\frac{x^2+y}{x+y^2}$$Für den Punkt $(x,y)=(1|-1)$ ist die Ableitung daher:$$y'(x)=-\frac{1^2+(-1)}{1^2+(-1)^2}=-\frac{0}{2}=0$$Der Punkt $(1,-1)$ ist daher ein Kandidat für ein Extremum. Zur Bestimmung des Typs bestimmen wir die 2-te Ableigung mittels der Quotientenregel:$$y''(x)=-\frac{(2x+y')(x+y^2)-(x^2+y)(1+2yy')}{\left(x+y^2\right)^2}$$Wir können ohne das weiter auszurechnen die Werte $x=1, y=-1, y'=0$ einsetzen:$$y''(x)=-\frac{(2+0)(1+(-1)^2)-(1^2+(-1))(1+2(-1)0)}{\left(1+(-1)^2\right)^2}$$$$\phantom{y''(x)}=-\frac{4}{\left(1+(-1)^2\right)^2}=-\frac{4}{4}=-1<0$$Es handelt sich bei $(1|-1)$ also um ein Maximum.

Comments

Vielen lienben Dank!!!! Nur eine Frage: Wie bist du auf die zweite Ableitung, also y'' gekommen? Woher kommt das 2x+y' ?

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Ich habe die Quotientenregel verwendet:$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$$$u=x^2+y$$$$v=x+y^2$$$$u'=2x+y'$$$$v'=1+2yy'$$Bei der letzten Ableitung habe ich die Kettenregel verwendet $y^2\to2yy'$.

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Ach! Jetzt sehe ich's ! Okay, aber leider habe ich noch ein paar Verständnisschwierigkeiten. Im ersten Teil der Aufgabe hast du doch folgende Regel verwendet, oder?

y'  = - Fx/Fy

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Und ich verstehe auch nicht so ganz, wieso wir den Punkt (1, -1) in y'(x) einsetzen können, denn es ist ja

$y'(x) = - \dfrac{x^2 +y}{x+y^2}$.

Deshalb dürfen wir doch eigentlich nur die 1 einsetzen und müssen die y wie eine Konstante behandeln, oder nicht?

Irgendwie fehlen mir noch ein paar Puzzlestücke, so ganz habe ich die Thematik noch nicht durchdrungen but I'm getting there!

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Ich habe im ersten Teil nicht direkt die Formel $y'=-\frac{F_x}{F_y}$ verwendet, sondern bin über das Differential gegangen. Aber mit der Formel kommst du exakt zu demselben Ergebnis.

Bei deiner zweiten Frage geht es um die Stelle $x=1$. Für diese gibt es mehrere passende $y$-Werte, die die Funktionsgleichung erfüllen:$$0=f(1,y)=1^3+3\cdot1\cdot y+y^3+3=y^3+3y+4$$Du brauchst diese Gleichung nicht zu lösen. In der Aufgabenstellung steht oben, dass es um die Stelle $(1|-1)$ geht. Das heißt zu dem Wert $x=1$ sollst du den Wert $y=-1$ betrachten. Wenn du $y=-1$ einsetzt, stellst du fest, dass die Gleichung erfüllt wird. Es kann noch andere $y$-Werte geben, die die Gleichung erfüllen, nach denen ist aber nicht gefragt.

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Ach so!!! VIELEN DANK !!!!!!!!!

Answer 2

Hallo

nach y' auflösen und (1,-1) einsetzen

Gruß lul

Comments

Meinst du mit "nach y' auflösen" das hier?

y' = - Fx/Fy

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Hallo

 eigentlich meinte ich die letzte Gleichung in deinem post. aber so geht es auch

Gruß lul