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ich brauche Hilfe beim Verstehen der Lösung dieser Aufgabe


Sei \( f(x, y)=x^{3}+3 x y+y^{3}+3 \)
Zeigen Sie, dass die Gleichung \( f(x, y)=0 \) in einer Umgebung von \( (1,-1) \) eine Auflösung der Form \( y=\varphi(x) \) hat.
Hat \( \varphi \) bei \( x=1 \) ein Extremum? Wenn ja, von welchem Typ?


Lösung

Implizites Differenzieren

\( x^{3}+3 x y(x)+y(x)^{3}+3=0 \)

Ableiten nach \( x \) :

\( \Rightarrow 3 x^{2}+3 y(x)+3 x y^{\prime}(x)+3 y(x)^{2} y^{\prime}(x)=0 \)

\( \Rightarrow y^{\prime}(\underbrace{(3 x+3 y(x)^{2}}_{\neq 0 \text { bei }(1,-1)}+3 x^{2}+3 y(x)=0. \)

Damit ist die Funktion lokal auflösbar:

\( y^{\prime}(1)=\frac{3-3}{3+3}=0 \)



Wie kommen die auf \( y'(1) = \dfrac{3-3}{3+3} = 0 \) ?

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Aloha :)$$f(x,y)=x^3+3xy+y^3+3=0$$Da \(f(x,y)\) mit der \(0\) identisch ist, gilt dies auch für das Differential:$$0=df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\left(3x^2+3y\right)dx+\left(3x+3y^2\right)dy$$$$-\left(3x^2+3y\right)dx=\left(3x+3y^2\right)dy$$$$-\frac{\left(3x^2+3y\right)}{\left(3x+3y^2\right)}=\frac{dy}{dx}$$$$y'(x)=-\frac{x^2+y}{x+y^2}$$Für den Punkt \((x,y)=(1|-1)\) ist die Ableitung daher:$$y'(x)=-\frac{1^2+(-1)}{1^2+(-1)^2}=-\frac{0}{2}=0$$Der Punkt \((1,-1)\) ist daher ein Kandidat für ein Extremum. Zur Bestimmung des Typs bestimmen wir die 2-te Ableigung mittels der Quotientenregel:$$y''(x)=-\frac{(2x+y')(x+y^2)-(x^2+y)(1+2yy')}{\left(x+y^2\right)^2}$$Wir können ohne das weiter auszurechnen die Werte \(x=1, y=-1, y'=0\) einsetzen:$$y''(x)=-\frac{(2+0)(1+(-1)^2)-(1^2+(-1))(1+2(-1)0)}{\left(1+(-1)^2\right)^2}$$$$\phantom{y''(x)}=-\frac{4}{\left(1+(-1)^2\right)^2}=-\frac{4}{4}=-1<0$$Es handelt sich bei \((1|-1)\) also um ein Maximum.

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Vielen lienben Dank!!!! Nur eine Frage: Wie bist du auf die zweite Ableitung, also y'' gekommen? Woher kommt das 2x+y' ?

Ich habe die Quotientenregel verwendet:$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$$$u=x^2+y$$$$v=x+y^2$$$$u'=2x+y'$$$$v'=1+2yy'$$Bei der letzten Ableitung habe ich die Kettenregel verwendet \(y^2\to2yy'\).

Ach! Jetzt sehe ich's ! Okay, aber leider habe ich noch ein paar Verständnisschwierigkeiten. Im ersten Teil der Aufgabe hast du doch folgende Regel verwendet, oder?

y'  = - Fx/Fy

Und ich verstehe auch nicht so ganz, wieso wir den Punkt (1, -1) in y'(x) einsetzen können, denn es ist ja

\( y'(x) = - \dfrac{x^2 +y}{x+y^2} \).

Deshalb dürfen wir doch eigentlich nur die 1 einsetzen und müssen die y wie eine Konstante behandeln, oder nicht?

Irgendwie fehlen mir noch ein paar Puzzlestücke, so ganz habe ich die Thematik noch nicht durchdrungen but I'm getting there!

Ich habe im ersten Teil nicht direkt die Formel \(y'=-\frac{F_x}{F_y}\) verwendet, sondern bin über das Differential gegangen. Aber mit der Formel kommst du exakt zu demselben Ergebnis.

Bei deiner zweiten Frage geht es um die Stelle \(x=1\). Für diese gibt es mehrere passende \(y\)-Werte, die die Funktionsgleichung erfüllen:$$0=f(1,y)=1^3+3\cdot1\cdot y+y^3+3=y^3+3y+4$$Du brauchst diese Gleichung nicht zu lösen. In der Aufgabenstellung steht oben, dass es um die Stelle \((1|-1)\) geht. Das heißt zu dem Wert \(x=1\) sollst du den Wert \(y=-1\) betrachten. Wenn du \(y=-1\) einsetzt, stellst du fest, dass die Gleichung erfüllt wird. Es kann noch andere \(y\)-Werte geben, die die Gleichung erfüllen, nach denen ist aber nicht gefragt.

Ach so!!! VIELEN DANK !!!!!!!!!

+1 Daumen

Hallo

nach y' auflösen und (1,-1) einsetzen

Gruß lul

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Meinst du mit "nach y' auflösen" das hier?

y' = - Fx/Fy

Hallo

 eigentlich meinte ich die letzte Gleichung in deinem post. aber so geht es auch

Gruß lul

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