ich brauche Hilfe beim Verstehen der Lösung dieser Aufgabe
Sei \( f(x, y)=x^{3}+3 x y+y^{3}+3 \)
Zeigen Sie, dass die Gleichung \( f(x, y)=0 \) in einer Umgebung von \( (1,-1) \) eine Auflösung der Form \( y=\varphi(x) \) hat.
Hat \( \varphi \) bei \( x=1 \) ein Extremum? Wenn ja, von welchem Typ?
Lösung
Implizites Differenzieren
\( x^{3}+3 x y(x)+y(x)^{3}+3=0 \)
Ableiten nach \( x \) :
\( \Rightarrow 3 x^{2}+3 y(x)+3 x y^{\prime}(x)+3 y(x)^{2} y^{\prime}(x)=0 \)
\( \Rightarrow y^{\prime}(\underbrace{(3 x+3 y(x)^{2}}_{\neq 0 \text { bei }(1,-1)}+3 x^{2}+3 y(x)=0. \)
Damit ist die Funktion lokal auflösbar:
\( y^{\prime}(1)=\frac{3-3}{3+3}=0 \)
Wie kommen die auf \( y'(1) = \dfrac{3-3}{3+3} = 0 \) ?