Hallo,
Dein Gleichungssystem lautet also$$\begin{pmatrix}2& 4& 0.5& -3\\ 0& -1& 2& 1.5\\ 6& 14& -2.5& -12\end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix}-5\\ 3\\ -21\end{pmatrix}$$jetzt geht man ganz normal nach Gauß vor. Hier z.B. die erste Zeile durch 2 dividieren und das sechsfache der ersten von der dritten abziehen. Die zweite Zeile kann man schon mal mit -1 multiplizieren, so dass vorn eine 1 steht. Gibt folgende Zahlen:$$\begin{array}{cccc|c}1& 2& 0.25& -1.5& -2.5\\ 0& 1& -2& -1.5& -3\\ 0& 2& -4& -3& -6\end{array}$$Jetzt ziehe ich noch das doppelte der zweiten Zeile von der ersten und von der dritten ab:$$\begin{array}{cccc|c}1& 0& 4.25& 1.5& 3.5\\ 0& 1& -2& -1.5& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}$$und die dritte Zeile enthält nur noch 0'en. D.h. egal was man da für \(x\) einsetzt, die dritte Zeile ist immer erfüllt. Und das macht auch Sinn, da die Spaltenvektoren in einer Ebene liegen (s. Kommentar oben).
Ist \(x = \begin{pmatrix}x_1& x_2& x_3& x_4\end{pmatrix}^T\) so steht da jetzt:$$\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}x_1 + \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}x_2 + \begin{pmatrix}4.25\\ -2\\ 0\end{pmatrix} x_3 + \begin{pmatrix}1.5\\ -1.5\\ 0\end{pmatrix} x_4 = \begin{pmatrix}3.5\\ -3\\ 0\end{pmatrix}$$Im Grunde kann man die dritte Zeile auch weglassen, da sie keinerlei Aussagekraft hat. Dann bleiben zwei Gleichungen mit 4 Unbekannten. Man kann also zwei davon frei wählen. ich setze \(x_3=r\) und \(x_4\) = s. Und löse nun nach den \(x_i\) auf:$$\begin{aligned} x_1 &= 3,5 - 4,25 r + 1,5s \\ x_2 &= -3 + 2r + 1,5 x_4 \\ x_3 &= r \\ x_4 &= s\end{aligned}$$bzw. in Vektorschreibweise$$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{pmatrix} = x = \begin{pmatrix}3.5\\ -3\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4.25\\ 2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-1.5\\ 1.5\\ 0\\ 1\end{pmatrix}s, \quad r,s \in \mathbb R$$was die Lösung für den Vektor \(x\) ist.
Zur Kontrolle kannst Du folgende Matrixmultiplikation durchführen:$$\begin{pmatrix}2& 4& 0.5& -3\\ 0& -1& 2& 1.5\\ 6& 14& -2.5& -12\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3.5& -4.25& -1.5\\ -3& 2& 1.5\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y& \underline 0& \underline 0\end{pmatrix}$$die erste Spalte ergibt wieder das \(y\) und die weiteren Spalten müssen den 0-Vektor ergeben, dann ist das Ergebnis korrekt.
