Vektoren Lösungen beim linearen Gleichungssystem, Lösungsmenge Vektoren berechnen

Question

Sei K ein Körper und γ₁, γ₂, γ₃ ∈ K Skalare. (γ = Gamma...)
Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem

4X₃ + 3X₄ = γ₁
X₁ + 2X₂ + 4X₃ + X₄ = γ₂
X₁ + 2X₂ + 8X₃ + 4X₄ = γ₃.

Bestimmen Sie, für welche Vektoren  c = (γ₁, γ₂, γ₃) ∈ K³ das Gleichungssystem
eine Lösung hat, und berechnen Sie für diese Vektoren die Lösungsmenge.
Geben Sie dabei eine Basis für das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem
an.

Kann mir jemand Lösungsansätze geben?

Answer 1

X₁ + 2X₂ + 4X₃ + X₄ = γ₂
X₁ + 2X₂ + 8X₃ + 4X₄ = γ₃    | 2. Gl - 1. Gl
                     4X₃ + 3X₄ = γ₁

X₁ + 2X₂ + 4X₃ + X₄ = γ₂
                  4X₃ + 3X₄ = γ₃   - y2   
                    4X₃ + 3X₄ = γ₁     |  3. Gl - 2. Gl.

X₁ + 2X₂ + 4X₃ + X₄ = γ₂
                  4X₃ + 3X₄ = γ₃   - y2   
                               0   = γ₁  +y2 - y3

Also lösbar nur für γ₁  +y2 - y3 =0 (sonst klappt die 3. Gl. nicht.

Dann ist jedenfalls x4 beliebig zu wählen, x4=t

und dann   4X₃ + 3t= γ₃   - y2   also x3= 0,25*( γ₃   - y2  -3t)

Bei der 1. Gl. ist dann wieder etwa x2 frei wählbar, x2=s und es gibt

x1 +2s + γ₃   - y2  -3t + t = y2

x1 = -2s -2t +2y2 - y3

also (x1,x2,x3,x4)=( -2s -2t +2y2 - y3 ,s, 0,25 γ₃   -0,25* y2  -0,75t ,   t  )

= ( 2y2 - y3 ,0, 0,25 γ₃   -0,25* y2  , 0 )+s*( -2 ,1, 0,0)+t*( 0 ,0, -0.75 ,   1  )

also sind ( -2 ,1, 0,0) und ( 0 ,0, -0.75 ,   1  ) eine Basis des homog. Systems.

Comments

könntest du vielleicht kurz erklären wie du auf die vorletzte zeile kommst ?

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( -2s -2t +2y2 - y3 ,s, 0,25 γ₃   -0,25* y2  -0,75t ,   t  )  soweit klar ?

Dann erst mal sortieren, bei jeder Komponente:

erst die Teile ohne s und t dann die mit s und dann die mit t gibt:

( 2y2-y3 - 2s - 2t,   0 + 1*s + 0*t , 0,25 γ₃   -0,25* y2  -0,75t ,0 + 0*s + 1*t)

= ( 2y2 - y3 ,0, 0,25 γ₃   -0,25* y2  , 0 )+s*( -2 ,1, 0,0)+t*( 0 ,0, -0.75 ,   1  ) 

und im homogenen System sind y's alle 0, die Lösungen also

s*( -2 ,1, 0,0)+t*( 0 ,0, -0.75 ,   1  )

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vielen dank :) jetzt ist es klar geworden

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Kurze Frage:

Warum sind x2 und x4 jeweils beliebig wählbar?

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Du hast ja am Ende nur noch 3 Gleichungen.

Die letzte enthält gar kein x, liefert also

keine Einschränkung für die x'e.

Die zweite enthält nur x3 und x4, damit

sie stimmt, kann ma zu jedem x3 ein passendes x4

wählen oder zu jedem x4 ein passendes x3.

Ich hatte mich für das Letztere entschieden.

Damit sind x3 und x4 jetzt fixiert und nach dem Einsetzen der

beiden in die erste Gleichung bleiben nur noch x1 und x2

zu bestimmen. Hier ist es ähnlich: Entweder zu irgendeinem

beliebigen x1 wählt man passend x2 oder umgekehrt.

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Folgt aus dieser Darstellung für die Lösungsmenge nicht

( 2y2-y3 - 2s - 2t,   0 + 1*s + 0*t , 0,25 γ₃   -0,25* y2  -0,75t ,0 + 0*s + 1*t)

= ( 2y2 - y3 ,0, 0,25 γ₃   -0,25 y2  , 0 ) + s*( -2 ,1, 0,0) + t*( -2 ,0, -0.75 ,1)
anstatt  t*( 0 ,0, -0.75 ,1) ?

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Darüberhinaus ist mir auch folgendes aufgefallen als du nach x1 auflöst

x1 +2s + γ₃   - y2  -3t + t = y2

x1 = -2s -2t +2y2 - y3

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x1+2s+y3-y2 -3t+t = y2

x1 + 2s +y3 -y2 -2t = y2

x1 - 2t = -2s + 2y2 -y3

x1 = -2s + 2t +2y2 -y3

Das hat in Kombination mit der Frage direkt darüber zur folge, dass die Lösungsmenge an der Stelle mit dem Skalar t wie folgt aussehen müsste t*(2,0, -0,75, 1)

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du sagst am ende auch: "also sind ( -2 ,1, 0,0) und ( 0 ,0, -0.75 ,   1  ) eine Basis des homog. Systems."
Aber in der Aufgabenstellung steht ja wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem. Hat das was zubedeuten?

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Das ist die Erledigung des letzten Teils der Aufgabe.