Spezielle Lösungen eines inhomogenen Systems

Question

Es seien \( n, m \in \mathbb{N}, n \leq m, A \in M(n, m) \) und \( \underline{\mathbf{b}} \in \mathbb{R}^{n} . \) Weiter se
(für ein \( k \leq m)\left(\underline{\mathbf{x}}^{(1)}, \underline{\mathbf{x}}^{(2)}, \ldots, \underline{\mathbf{x}}^{(k)}\right) \) eine Basis von kern \( A \).

Mit \( \underline{\mathbf{y}}_{s}^{(1)} \) und \( \underline{\mathbf{y}}_{s}^{(2)} \) seien zwei spezielle Lösungen des inhomogenen Systems \( A \underline{\mathbf{x}}=\underline{\mathbf{b}} \) bezeichnet (falls existent) und es seien

\( \begin{array}{ll} L_{1} & :=\left\{\underline{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{m}: \underline{\mathbf{x}}=\underline{\mathbf{y}}_{s}^{(1)}+\sum \limits_{j=1}^{k} \lambda_{j} \underline{\mathbf{x}}^{(j)}, \lambda_{i} \in \mathbb{R}, i=1,2, \ldots k\right\}, \\ L_{2} & :=\left\{\underline{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{m}: \underline{\mathbf{x}}=\underline{\mathbf{y}}_{s}^{(2)}+\sum \limits_{j=1}^{k} \mu_{j} \underline{\mathbf{x}}^{(j)}, \mu_{i} \in \mathbb{R}, i=1,2, \ldots k\right\} . \end{array} \)

Zeigen Sie: \( L_{1}=L_{2} \)

Answer 1

Hi,

 

Weil $$ A\left(y_s^{(1)}-y_s^{(2)}\right)=0 $$ gilt gehört $$ y_s^{(1)}-y_s^{(2)} $$ zu Kern(A) und hat somit eine Darstellung der Form $$ \sum_{j=1}^k\alpha_j*x^{(j)} $$ mit geeigneten $$ \alpha_j $$ Also gilt $$ y_s^{(1)}=y_s^{(2)}+\sum_{j=1}^k\alpha_j*x^{(j)} $$ Sei jetzt x ein Element von $$ L_1 $$ dann gilt $$ x=y_s^{(1)}+\sum_{j=1}^{k}\lambda_jx^{(j)}=y_s^{(2)}+\sum_{j=1}^k\alpha_j*x^{(j)}+\sum_{j=1}^{k}\lambda_jx^{(j)}=y_s^{(2)}+\sum_{j=1}^k\beta_j*x^{(j)} $$ mit $$ \beta_j=\alpha_j+\lambda_j $$ Also ist x ein Eleent von L₂. D.h. L₁ ist Teilmenge von L₂. Umgekehrt kann man genauso beweisen, dass L₂ eine teilmenge von L₁ ist und damit sind die Mengen L₁ und L₂ identisch.