Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen lösen?

Question

Aufgabe:

z² - 3z + 3 + i = 0

Problem/Ansatz:

!

Ich habe eine Lösung mit der p-q-Formel probiert und bin dann zu diesem Zwischenergebnis gekommen:

z_1,2 = 1,5 ± \( \sqrt[]{ - 0,75 - i } \)

Dann habe ich versucht, die "komplexe Zahl" unter der Wurzel zu lösen:

z = \( \sqrt[]{ - 0,75 - i } \)

z² = - 0,75 - i

z² = ( a + bi )² = a² - b² + 2abi

(I) a² - b² = - 0,75

(II) 2abi = -1

aus (II): b = - \( \frac{1}{2a} \)

in (I): a² - ( - \( \frac{1}{2a} \) ) = - 0,75

    ...  a⁴ + 0,75a² - 0,25 = 0

Substitution: u = a²

... u₁ = 0,25     =>    a₁ = \( \sqrt{0,25} \)  = 0,5    =>   b₁ = -1

    u₂ = -1         =>   [ a₂ = \( \sqrt{-1} \) ]   MÜSSTE MAN HIER NOCH LÖSEN???

Endergebnis:

z_1,2 = 1,5 ± ( 0,5 - i )

z₁ = 2 - i

z₂ = 1 + i

Ist das so korrekt?

Answer 1

dein Ansatz ist doch \( z = a+ bi \) wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind. Die Lösung \( a = \sqrt{-1} \in\mathbb{C} \) entfällt also.

Ansonsten ist deine Rechnung richtig, vergleiche mit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2+-+3z+%2B+3+%2B+i+%3D+0+