Quadratische Gleichung im komplexen lösen

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die Lösungen z∈ℂ der quadratischen Gleichung z² + (4−3i)z + 1−5i = 0 in der Form z = a + ib mit a,b∈ℝ dar.

Lösung/Ansatz:

Ich habe zunächst versucht die Gleichung umzuformen in die Form z²+2xz+x²+y=0, aloso habe ich (4-3i)/2 quadriert und den Wert von 1-5i abgezogen, um den Wert y zu erhalten. Das liefert mir dann (z+2-1,5i)²-0,75-11i=0.

Also würde (z+2-1,5i)²=0,75+11i sein, also müsste man aus einem quadrat i erhalten, was aber nicht möglich ist, soweit ich das verstehe. Demnach hätte die Gleichung ja keine Lösung z, richtig?

Answer 1

pq_formel gilt im Komplexen auch und ergibt

z1=-1+i und z2=-3+2i

oder quadratische Ergänzung

z^2 + (4−3i)z =  - 1 + 5i

auf beiden Seiten +(4-3i)^2 / 4 gibt

z^2 + (4−3i)z    +(4-3i)^2 / 4  =  - 1 + 5i     +(4-3i)^2 / 4

<=>  ( z  + (4-3i)/2 ) ^2 = 3/4 - i

und wegen √( 3/4 - i ) = 1- i/2 gibt das

<=>   z  + (4-3i)/2  = 1- i/2      oder  z  + (4-3i)/2  = - ( 1- i/2 )

also  z=-1+i      oder  z=-3+2i