Menge in der Gaußschen Ebene skizzieren

Question

Aufgabe:

M = { z ∈ ℂ : | z - 1 | >= 2 | z - i | }

Problem/Ansatz:

ich soll diese Menge in der Gaußschen Zahlenebene skizzieren, habe dabei aber Probleme.

Mein Ansatz:

| x + yi - 1 | >= 2 | x + yi - i |

| x - 1 + yi | >= 2 | x + yi - i |

\( \sqrt{( x - 1 + yi ) ( x - 1 - yi )} \)  >= 2 \( \sqrt{( x + yi - i ) ( x - ( yi - i ))} \)

( x - 1 + yi ) ( x - 1 - yi ) >= 4 ( x + yi - i ) ( x - yi + i ))

...

x² - 2x + 1 + y² >= 4 ( x² + 1 + y² - 2y )

Hier komme ich dann nicht mehr weiter bzw. bin mir unsicher, ob das überhaupt stimmt!

Ich hoffe, ihr könnt hier helfen.

Answer 1

x² - 2x + 1 + y² >= 4 ( x² + 1 + y² - 2y )

Stimmt soweit. Löse nach y auf. Oder bringe in eine andere dir vertraute Form.

Wenn du die Ungleichung in GeoGebra eingibst, dann siehst du, wie die Menge aussieht und kannst daraus ableiten, wie die "vertraute Form" der Ungleichung aussehen sollte.

Answer 2

(x - 1)^2 + y^2 ≥ 4·(x^2 + (y - 1)^2)

x^2 - 2·x + 1 + y^2 ≥ 4·(x^2 + y^2 - 2·y + 1)

x^2 - 2·x + 1 + y^2 ≥ 4·x^2 + 4·y^2 - 8·y + 4

3·x^2 + 2·x + 3·y^2 - 8·y ≤ -3

3·(x^2 + 2/3·x + y^2 - 8/3·y) ≤ -3

x^2 + 2/3·x + y^2 - 8/3·y ≤ -1

x^2 + 2/3·x + 1/9 + y^2 - 8/3·y + 16/9 ≤ -1 + 1/9 + 16/9

(x + 1/3)^2 + (y - 4/3)^2 ≤ 8/9

Kreis mit Mittelpunkt (-1/3 | 4/3) und dem Radius √(8/9).

Hier eine Lösung von meinem Freund Wolfram

Answer 3

Hallo,

wenn es nur um das Skizzieren geht, so brauchst Du gar nichts rechnen. Es reicht, den Kreis des Apollonios zu kennen. Es sind alle Punkte \(C\) gesucht, für die \(|CA| \ge 2|CB|\) mit \(A=(1;0)\) und \(B=(0;i)\). Das sieht so aus:

Alle Punkte \(C\) auf und in dem Kreis erfüllen diese Bedingung. Und Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\) könnte man unmittelbar ablesen, wenn nötig.

zu Deiner Rechnung; bringe alles auf eine Seite und nutze die quadratische Ergänzung jeweils getrennt für  \(x\) und \(y\):$$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} >= 4 ( x^{2} + 1 + y^{2} - 2y ) \\ 0 \ge 3x^2 + 2x + 3y^2 - 8y + 3 \\ 0 \ge 3\left(x^2 + \frac 23x + \frac 19\right) - \frac 13 + 3\left(y^2 - \frac 83y + \frac {16}9 \right) - \frac{16}3 + 3 \\ \frac 89 \ge \left(x + \frac 13 \right)^2  + \left( y - \frac 43\right)^2 $$