grenzwert mit regel von lhospital

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{x^2+2x+3}{4x^2+5x+6} \)

Problem/Ansatz:

Ich soll die aufgabe mit l´hospital berechnen aber ich weiß leider nicht wie ich vorgehen muss wegen dem unendlichzeichen

Answer 1

Aloha :)

L'Hospital brauchst du, wenn Zähler und Nenner unabhängig voneinander gegen unendlich oder 0 konvergieren. Du könntest die Regel hier also anwenden. Schneller geht es jedoch, wenn du Zähler und Nenner mit \(x^2\) kürzt:$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+2x+3}{4x^2+5x+6}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{4+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}=\frac{1+0+0}{4+0+0}=\frac{1}{4}$$Bei L'Hospital musst du Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten:$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+2x+3}{4x^2+5x+6}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x+2}{8x+5}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$

Comments

Danke, und wie wäre es wenn die aufgabe so lauten würde:

\( \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{ln(x+1)} \)

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Da konvergiert der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen 0. Also kannst du hier L'Hospital anweden:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{\ln(x+1)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\frac{1}{x+1}}=1$$