Invertierbare Matrix (modulo 6)

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Matrix gegeben A_λ ∈ (Z/6Z)

0	1	λ
0	2	λ2
1	3	λ3

Ich soll "sagen", für welche  λ die Matrix invertierbar ist und die entsprechende Inverse bestimmen.

Ich tu mich extrem schwer ehrlich gesagt.

Answer 1

Die inverse  Matrix ist eine Matrix der Form

\( \begin{pmatrix} a & b &c \\ d & e& f\\g&h&i\end{pmatrix} \) , und ihr Produkt mit der gegebenen Matrix soll \( \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1& 0\\0&0&1\end{pmatrix} \) sein. Berechne zunächst die Werte a bis i. (Das sind 9 Gleichungen, die immer auf ...=0 bzw. ...=1 enden).

Answer 2

Berechne die Determinante, entwickle zB nach der ersten Spalte: \( \lambda^2 - 2\lambda \)

Die Matrix ist genau dann invertierbar wenn die Determinante eine Einheit im Ring Z/6Z ist, die Einheiten sind 1, 5. Das ist nur für \( \lambda = 1\) der Fall.