Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe x′′−x=t x(0)=2 , x′(0)=1.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe x′′−x=t  ,   x(0)=2,x′(0)=1.

Problem/Ansatz:

Ich brauche jeder Schritt um mein Fehler zu finden

Ich freue mich auf Eure Hilfe !
MFG

Answer 1

Hallo,

x'' -x=t

x'' -x=0 

Ansatz:

x=e^(λ t) ->2 Mal ableiten  und in die DGL einsetzen

λ^2 -1=0 --------->charakteristische Gleichung

λ= ± 1 ------------> x_h= C₁ e^(-t) +C₂ e^t

xp= A+Bt

xp'= B

xp'' =0

---------->Setze xp , xp' xp'' in die DGL ein:

-A -Bt=t

-->Koeffizientenvergleich:

t^0:  -A= 0 ->A=0

t^1: -B=1  ->B=-1

---->xp= A+Bt =-t

------>

x=xh+xp

x=C₁ e^(-t) +C₂ e^t -t

->Einsetzen der AWB ->2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:

x(t)= 2 e^t -t