Freunde,
mir fällt das Lösen dieser Aufgabe etwas schwer. Ich muss für die Zufallsvariablen beweisen \( X_{n}, X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, \) die Áquivalenz der folgenden Aussagen:
(1) \( X_{n} \) konvergiert fast sicher gegen \( X \)
(2) \( \forall \epsilon>0: \lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(\sup _{k \geq n}\left|X_{k}-X\right|>\epsilon\right)=0 \)
Ich denke für den Beweis benötigen wir eine Hilfsaussage:
Proposition 8.1.4. Seien (Ω, F) ein Messraum und E eine Menge. Außerdem seien X :
Ω → E eine Abbildung und E ⊂ 2
E eine Mengenfamilie mit der Eigenschaft, dass X−1
(B) ∈
F fur jede Menge ¨ B ∈ E. Dann gilt auch X−1
(B) ∈ F fur jede Menge ¨ B ∈ σ(E)
Allerdings weiß ich nicht, wie man das weiter fortführt, hat jemand eine Idee, wie man das löst? Vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüße
Zanie
