Borel cantelli, Stochastik

Question

Es sei $\left(A_{n}\right) \in \mathcal{A}^{\mathrm{N}}$ eine Folge von Ereignissen, so dass $\liminf \mathrm{P}\left(A_{n}\right)=0$ und $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}\left(A_{n} \cap A_{n+1}^{\complement}\right)<\infty .$ Zeigen Sie, dass
$$P\left(\limsup _{n \rightarrow \infty} A_{n}\right)=0$$

Mein Ansatz wäre, dass man hier das Lemma von Borel-Cantelli verwendet und zeigt, dass $\mathbb{P}\left(\lim \inf A_{n}\right)= 0 .$

Wie löse ich das weiter?