Funktion vereinfach Logarithmen

Question

Aufgabe: erste Ableitung mit der Kettenregel vorher soll die Funktion jedoch mit der Logarithmen-Rechenregel vereinfacht werden

f(x)=ln* \( \sqrt{x^3 * e^2x * ln(x)} \)

Das x steht neben der 2 im Exponenten

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\ln\sqrt{x^3e^{2x}\ln(x)}=\frac{1}{2}\ln\left(x^3e^{2x}\ln(x)\right)=\frac{1}{2}\left(\ln(x^3)+\ln(e^{2x}+\ln(\ln(x))\right)$$$$\phantom{f(x)}=\frac{1}{2}\left(3\ln(x)+2x+\ln(\ln(x))\right)=\frac{3}{2}\ln(x)+x+\frac{1}{2}\ln(\ln x)$$Die Ableitung der ersten beiden Summanden ist kein Problem, beim dritten Summanden benötigen wir die Kettenregel:

$$f'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x}+1+\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\frac{1}{\ln x}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}}_{\text{innere}}=1+\frac{1}{2x}\left(3+\frac{1}{\ln x}\right)$$