Ableitungsfunktionen von Logarithmen: f(x)=ln (e^x/(1+e^x)); f(x)=ln (√(1+e^x)/(1-e^x))

Question

Habe 3 Übungsaufgaben aufgenommen die wie folgt lauten:

a) f(x)=ln (1+x/1-x)
b) f(x)=ln (e^x/1+e^x)

c) f(x)=ln √1+e^x/1-e^x

Kann man bei den erstens beiden die qotientenregel anwenden? Hab es Versucht aber hab grottige antworten rausbekommen, vermutlich habe ich nicht richtig vereinfacht, könnt ihr mir einen Lösungsweg zeigen?

Bei c) würde ich die Kettenregel anwenden das würde dann wie folgt lauten:

1/ 2√1+e^x/1-e^x +   (E^x*(1-e^x)+(1+e^x)*(-e^-x))

Sieht total kompliziert aus und unrichtig, hab auch hier nicht gekürzt bzw. vereinfacht weil das bei mir immer sofort falsch wird. Ist hier der Ansatz wenigstens richtig?

Bitte um Hilfestellung , wäre echt klasse

Sarah

Answer 1

 

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mfg Georg

Comments

Habe die Aufgaben im Unterricht besprochen, die letzte schien nicht ganz richtig gewesen zu sein aber das macht absolut gar nichts aus , da diese Form von Aufgaben für meinen Kurs nicht Prüfungsrelevant ist.


Danke vielmals für die Mühe,habe es durch deine Hilfe gut verstehen und nachvollziehen können! ☺

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Von der Fragestellung sehen die Aufgaben noch
relativ übersichtlich aus,
werden aber beim Ausrechnen schnell
unübersichtlich.
Muss man als Mathematiker aber auch können :
akribisch arbeiten und die Konzentration behalten.
mfg Georg

Answer 2

Du solltest darauf achten. Das die Aufgaben wenigstens richtig geklammert sind.

Heißt es unter 

a) LN(1+x/1-x) oder eventuell LN((1+x)/(1-x))

Ich würde letzteres annehmen

f(x) = LN((1 + x)/(1 - x))
f'(x) = (1 - x)/(x + 1) * 2/(x - 1)^2 = 2/((1 + x)·(1 - x))

b) 

f(x) = LN(e^x/(1 + e^x)) = LN(e^x) - LN(1 + e^x) = x - LN(1 + e^x)
f'(x) = 1 - 1/(1 + e^x) * e^x = (1 + e^x)/(1 + e^x) - e^x/(1 + e^x) = 1/(1 + e^x)

c)

f(x) = LN(√((1 + e^x)/(1 - e^x))) = 1/2 * LN((e^x + 1)/(1 - e^x)) = 1/2 * (LN(e^x + 1) - LN(1 - e^x))
f'(x) = 1/2 * (e^x/(e^x + 1) - e^x/(e^x - 1)) = e^x/((e^x + 1)·(1 - e^x))