Beweise dass ||f(x)|| = 2*|cos(x/2)| mitilfe von cos(2x) = 2*cos^2(x)-1

Question

Aufgabe:

\( \ f(x)=(1+cos(x) \begin{pmatrix} sinx\\cosx\\ \end{pmatrix}  ) \)

Zu zeigen. \( \ ||f'(x)|| = 2|cos(x/2)| \) mitilfe von \( \ cos(2x) = 2cos^2(x)-1  \)

Problem/Ansatz:

f'(x)=\( \begin{pmatrix} cos(x)+cos^2(x)-sin^2(x)\\-sin(x)-2cos(x)sin(x)\\ \end{pmatrix} \)

||f'(x)||= \( \sqrt{(cos(x)+cos^2(x)-sin^2(x))^2+(-sin(x)-2cos(x)sin(x))^2} \)

Ich komme leider nicht weiter ,weiß nicht wie ich das umformen soll um zu diesem Ergebnis zu gelangen.

Answer 1

Aloha :)

Vorgegeben ist die Funktion$$f(x)=(1+\cos x)\binom{\sin x}{\cos x}$$

Wir leiten sie mittels der Produktregel ab$$f'(x)=-\sin x\binom{\sin x}{\cos x}+(1+\cos x)\binom{\cos x}{-\sin x}$$$$\phantom{f'(x)}=\binom{-\sin^2x+\cos x+\cos^2x}{-\sin x\cos x-\sin x-\sin x\cos x}$$$$\phantom{f'(x)}=\binom{\cos x+\overbrace{(\cos x\cos x-\sin x\sin x)}^{=\cos2x}}{-\sin x-\underbrace{2\sin x\cos x}_{=\sin2x}}=\binom{\cos x+\cos 2x}{-\sin x-\sin 2x}$$

Um uns die Wurzel zu sparen, betrachten wir das Quadrat des Betrages:$$\left\|f'(x)\right\|^2=(\cos x+\cos 2x)^2+(-\sin x-\sin2x)^2$$$$\phantom{\left\|f'(x)\right\|^2}=\cos^2x+2\cos x\cos2x+\cos^22x+\sin^2x+2\sin x\sin2x+\sin^22x$$$$\phantom{\left\|f'(x)\right\|^2}=\underbrace{\cos^2x+\sin^2x}_{=1}+\underbrace{\cos^22x+\sin^22x}_{=1}+2\underbrace{(\cos x\cos2x+\sin x\sin2x)}_{=\cos(x-2x)=\cos(2x-x)}$$$$\phantom{\left\|f'(x)\right\|^2}=1+1+2\cos(2x-x)=2+2\cos x=2+2\underbrace{\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)}_{=\cos x}$$$$\phantom{\left\|f'(x)\right\|^2}=2\underbrace{\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)}_{=1}+2\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=4\cos^2\frac{x}{2}$$

Für den Betrag der Ableitung heißt das:$$\left\|f'(x)\right\|=2\left|\cos\frac{x}{2}\right|$$

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!