Wie Nullstellen am einfachsten herausfinden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Nullstellen:

$$(x-1)^{3}\left((x-1)^{4}-1\right)$$

Problem/Ansatz:

Mir sind so die allgemein üblichen Lösungsmöglichkeiten bekannt. Horner-Schema, Mitternachtsformel, Faktorzerlegung, Tricks um Nullstellen zu finden etc.

Hatte aber noch nie einen Term in dieser Form. Gibt es hier einen schnelleren Weg, als erst alles ausmultiplizieren zu müssen und dann die Nullstellen zu finden?
Ich kann in dieser Form lediglich x=0 erkennen. Wenn man die rechte Seite getrennt betrachtet, dann noch x=2.

Muss man wirklich alles auseinanderziehen? Die Nullstellen würde ich so herausfinden, es geht mir aber um eine schnellere bzw. effizientere Möglichkeit.

Bitte nicht die Lösung (d.h. die Nullstellen) schreiben, sondern nur Tipps wie man hier am einfachsten vorgeht.

Vielen Dank.

Comments

Ausmultiplizieren ist in 95% der Fälle nie der richtige Weg, ein Produkt ist Null wenn mindestens einer der Faktoren =0 ist.

Answer 1

Hallo

du hast doch schon eine wunderbare Faktorzerlegung! Auf keinen Fall auflösen, die 2 Klammern einzeln =0  ergeben alle Lösungen.

Gruß lul

Comments

Stimmt, hatte ich glatt übersehen dass ja beide Seiten einfach 0 ergeben müssen.

Danke für den schnellen Hinweis!

Answer 2

Hallo,

Wende den Satz vom Nullprodukt an:

(x-1)^3=0

(x−1)^4−1=0

usw.

Answer 3

(x - 1)^3·((x - 1)^4 - 1) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt beide Faktoren getrennt Null setzen.

(x - 1)^3 = 0 --> x = 1 (3-fach)

(x - 1)^4 - 1 = 0
(x - 1)^4 = 1
x - 1 = ±1
x = 1 ± 1 --> x = 0 ∨ x = 2

Skizze

~plot~ (x-1)^3*((x-1)^4-1);[[-1|3|-1.5|1.5]] ~plot~

Answer 4

(x−1)^3 * ((x−1)^4−1) = 0
Satz vom Nullprodukt
(x - 1 ) ^3 = 0
x - 1 = 0
x = 1

((x−1)^4−1) = 0
((x−1)^4 = 1  | 4.Wurzel ziehen
x - 1 = ± 4.Wurzel ( 1 )
x - 1 = ± 1
x = ± 1 + 1
x = 2
und
x = 0