Aufgabe:
Man wählt zufällig aus zwei Urnen und zieht aus dieser Urne unabhängig zwei Kugeln mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge :
1. Urne: 1 rote und 4 blaue Kugeln
2. Urne: 4 rote und 2 blaue Kugeln
a) Geben Sie (Ω,P) an.
b) Geben Sie folgende Teilmengen von Ω an:
A: erste Urne wird gewählt
B: erste Kugel ist blau
C: zwei ungleiche Kugeln werden gezogen
c) Berechnen Sie P(A), P(A\B) und P(B\A).
d) Sind B und C stochastisch unabhängig? Sind A, B und C stochastisch unabhhängig?
Problem/Ansatz:
a) Geben Sie (Ω,P) an :
(Ω,P) - Wahrscheinlichkeitsraum :
Ω = {(rot,rot);(rot,blau);(blau,blau)} oder nicht ? Oder ist es einfach nur Ω = {R;B}, wobei R= Rot und B= Blau ? Oder ist es
Ω = {(U1,rot,rot);(U1,rot,blau);(U1,blau,rot);(U1,blau,blau);(U2,rot,rot);(U2,rot,blau);(U2,blau,blau);(U2,blau,rot)}, was ich denke, das richtig ist .
Sprich : Ich weiß nicht, was genau in den Grundraum kommt, trotz gegebene Fragestellung. Zudem bin mir nicht sicher, ob den rot,blau und blau,rot in den Grundraum kommen sollte, da laut Aufgabe die Reihenfolge egal ist.
P- Wahrscheinlichkeitsmaß :
i) P(A) ≥ 0
ii) P(Ω) = 1
iii) Sind A1,A2 .... paarweise disjunkt, dann gilt σ-Additivität ( entsprechende Formel )
Aber da mir der Grundraum nicht klar ist, bin ich mir nicht sicher was P ist.
Ist P vielleicht : Anzahl der gesuchten Paare/ Anzahl der Gesamtpaare ?
Teilmengen angeben
b) Geben Sie folgende Teilmengen von Ω an:
A: erste Urne wird gewählt : {(U1,rot,rot);(U1,rot,blau);(U1,blau,rot);(U1,blau,blau)}
B: erste Kugel ist blau : {(U1,blau,blau);(U1,blau,rot);(U2,blau,blau);(U2,blau,rot)}
C: zwei ungleiche Kugeln werden gezogen, was ich als Farbunterschied interpretiere :
{(U1,rot,blau);(U1,blau,rot);(U2,rot,blau);(U2,blau,rot)}
c) Berechnen Sie P(A), P(A\B) und P(B\A) :
i) P(A): 4/8 = 1/2
ii) P(A\B): P(A) - P(AnB) = {(U1,rot,rot);(U1,rot,blau)} = 2/8 = 1/4 // wobei (AnB) = {(U1,blau,blau);(U1,blau,rot)}
iii) P (B\A) : P(B) - P(AnB) = {(U2,blau,blau);(U2,blau,rot)} = 2/8 = 1/4
d) Sind B und C stochastisch unabhängig? Sind A, B und C stochastisch unabhhängig?
Falls P(AnB) = P(A)*P(B) gilt, dann ist es unabhängig :
- P(BnC) = 2/8 = 1/4 => 1/4 = P(B)*P(C) = 1/4*1/4 = 1/16 // Cancel -> B und C sind nicht unabhängig
- P(AnBnC) = 1/8 => 1/8 = P(AnBnC) = 1/4*1/4*1/4 = 1/64 // Cancel -> A,B und C sind nicht unabhängig
Letztlich weiß ich nicht, wo meine Fehler sind, da mir das Wissen für die Erkenntnis dazu leider momentan fehlt.
a) Ungewissheit
b) und c)Aufbauend auf meine Vermutung, sprich : Wenn a) falsch ist, dann ist alles falsch.
d) Die Formel gilt ja so. Nur wenn der Grundraum etc. falsch ist, dann sind auch die Werte hierfür falsch.
Ich erwarte keine Lösungen, aber ich bitte um Hilfe/Tipps !
Vielen Dank !
