Ermittle den Eckpunkt C C und das Volumen der Pyramide.

Question

Von einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche \( A B C D \) kennt man den Eckpunkt \( A(-1 /-2 / 5) \) und die Spitze \( S(2 / 1 / 8) . \) Die Höhe \( h \) liege auf der Geraden \( g: \vec{r}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) . \) Ermittle den Eckpunkt \( C \) und das Volumen der Pyramide.

Comments

Die Höhe \(h\) ist ein Skalar, die Geradengleichung spuckt nur Vektoren aus. Für mich ist die Formulierung unverständlich. Was verstehst du darunter, dass die Höhe auf der Gerade liegt?

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Interpretiere die Höhe \(h\) als Strecke im Raum

hier ist \(h=HS\)

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Achso, alles klar!

Answer 1

([2, 1, 8] + r·[2, -1, 2] - [-1, -2, 5])·[2, -1, 2] = 0 --> r = -1

F = [2, 1, 8] - 1·[2, -1, 2] = [0, 2, 6]

C = 2·[0, 2, 6] - [-1, -2, 5] = [1, 6, 7]

Der Lotfußpunkt der Höhe ist hier F statt wie oben in der Skizze H.

Jetzt solltest du folgendes leicht alleine Bestimmen können

Grundfläche

G = 1/2·|AC|^2

Höhe

h = |FS|

Volumen

V = 1/3·G·h