Naja. Ein typisches Beispiel wäre du bist Sicherheitsbeauftragter in einem Spielcasino und du bist unter anderem für die Ordnungsmäßigkeit der Spielwürfel zuständig. Wie du natürlich weißt fällt die 6 bei einem fairen Spielwürfel mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/6. Allerdings wurde an einem Tisch und einem Würfel an einem Abend beobachtet das außergewöhnlich viele Sechsen gefallen waren. Du sollst jetzt ein Testverfahren entwickeln um zu überprüfen ob es sich um einen fairen Würfel handelt oder ob dieser eingesetzte Würfel eventuell Manipuliert ist und die 6 öfter als normal fällt.
Eigentlich gibt es für uns nur 2 Hypothesen. Der Würfel ist fair oder er ist manipuliert und zeigt die 6 zu oft an.
Da die beiden Hypothesen aber eigentlich den ganzen Bereich der Wahrscheinlichkeiten abdecken muss, werden die Hypothesen meist wie folgt aufgestellt.
H0: p ≤ 1/6
H1: p > 1/6
Es gibt aber auch Bücher die stellen die beiden Hypothesen wie folgt auf
H0: p = 1/6
H1: p > 1/6
bei letzterem wird zwar nicht der ganze Wahrscheinlichkeitsbereich abgedeckt. Das ist aber auch nicht immer der Fall. Wenn man z.B. an einen Alternativtest denkt dann können die Hypothesen auch aus zwei festen Wahrscheinlichkeiten bestehen.
Wenn du also z.B. aus anderen Spielcasinos gehört hast das manipulierte Würfel in den Umlauf gebracht worden sind, bei denen die Wahrscheinlichkeit für eine 6 leicht erhöht bei p = 1/5 liegt.
Dann kann man die Hypothesen auch wie folgt aufstellen
H0: p = 1/6
H1: p = 1/5
Analog hierzu wenn du die erhöhte Wahrscheinlichkeit nicht kennst dann schreibst du halt nur H1: p > 1/6
Wie gesagt ich habe beide Versionen schon in Schulbüchern gesehen. Allerdings weiß ich auch das Schulbücher das manchmal nicht ganz so genau nehmen.
Ich persönlich finde es eigentlich ok wenn man in der Nullhypothese sagt p = 1/6, denn man geht ja im Test selbst wenn jetzt die 6 außergewöhnlich selten fällt nicht davon aus das die Wahrscheinlichkeit kleiner als 1/6 ist. Wenn also die 6 zu selten fällt dann muss es wohl ein sehr seltenes Ereignis sein was natürlich auch mal eintreten könnte.
Wichtig ist aber das du zur Bestimmung des Ablehnungsbereiches immer noch den Stichprobenumfang bzw. die Anzahl der Tests kennen musst. Dann könnte man sich entweder über die Binomialverteilung herantasten
Anschließend teste ich mit P(X=0) + P (X =1) , ... , durch , bis zu wievielen Fehlern der Test eine Fehlerquote kleiner gleich 5% aufweist, ist das korrekt?
So allerdings eher bei einem linksseitigen Test. Bei einem rechtsseitigen Test fängt man auch rechts an zu summieren.
Also P(X = n) + P(X = n - 1) + ...
Man kann allerdings auch von links summieren. Dann aber nicht bis 5% sondern bis 95%.
Günstiger ist es aber zumindest am Anfang die Grenze mittels der Normalverteilung grob abzuschätzen. Das geht meist schon selbst wenn die Regel von Moivre-Laplace nicht erfüllt ist. Kontrollieren kann man dann die Grenze im Anschluss immer noch mittels der Binomialverteilung.
