Für welche Werte von a hat dieses lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von a hat dieses lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung?

\( \left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) *\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Die triviale Lösung ist der Nullvektor, also müssen alle Variablen auf Null gesetzt werden, um diese Bedingung zu erfüllen.

Ich denke ich muss zuerst die Matrix als erweiterte Koeffizientenmatrix aufschreiben und in eine Stufenform bringen:

Leider weiß ich ab hier nicht mehr weiter, wie ich die triviale Lösung zeigen kann?

Answer 1

Die Determinante der Matrix ist (a-1)^2.

Die ist nur 0 für a=1. Das ist der

einzige Fall, wo es mehr als die triviale Lösung

gibt. Siehst du auch an deiner Umformung.

Nur für a=1 entsteht eine 0-Zeile.

Comments

Dankeschön!
Gibt es auch eine Lösung mit meinen Zeilenumformungen? Ich müsste es in eine Stufenform bringen, und ich habe noch keine Stufen ;) Ist der Rechenweg auch richtig?

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Du kannst ja von deiner vorletzten Version ausgehen

und sagst:

Im Fall a=1 entsteht in der 1. Zeile eine 0-Zeile,

also gibt es dann viele Lösungen.

Im Fall a≠1 nimmst du die unterste Zeile mal (a-1)

und ziehst die erste davon ab, das gibt

a-1     0       0    |   0
  0     a-1      0   |  0
  0      a-1   a-1   |   0

und dann noch 3. Zeile  minus

die 2. Zeile gibt Stufenform

a-1    0    0     |  0
  0    a-1  0     |  0
  0      0    a-1 |  0