Wie geht Lineare Gleichungen?

Question

Aufgabe:

Geben Sie alle Lösungen der Gleichung 15x + 20 = 2 in ℤ₂₁ an

Wie wird das berechnet?

Answer 1

Aus 15x + 20 ≡ 2 mod 21 folgt

15x -1 ≡ 2 mod 21   bzw.

15x ≡ 3 mod 21 .

Nach der bekannten (??) Divisionsregel folgt daraus

5x ≡ 1 mod \( \frac{21}{ggT(3,21)} \) , also

5x ≡ 1 mod 7 .

Das wird von x=3 erfüllt und somit von allen Zahlen, die kongruent zu 3 nach dem Modul 7 sind.

Die entsprechenden Restklassen mod 21 sind also [3], [10] und [17].

Answer 2

Hier rechnest du Modulo 21. Du kannst zunächst deine obige Gleichung zu \(5x+6=0\) vereinfachen. Jetzt musst du probieren: \(x=3, 24\) sind zb Lösungen, denn in \(\mathbb{Z}_{21} \) hast du dann \(5\cdot 3+6=21=0\) und \(5\cdot 24+6=126=0\). Versuche jetzt so noch weitere Lösungen zu finden, sodass du die Lösung vielleicht als eine Folge darstellen kannst

Answer 3

Hallo rejes,

da \(21\) eine Primzahl ist, ist \(\mathbb{F}_{21}=\mathbb{Z}_{21}\) ein Körper. Es gilt nun:$$15x+20 \equiv 2 \pmod {21} \Leftrightarrow 15x \equiv -18  \equiv 45\pmod {21} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  \quad \quad \, \,  \,  \,   \Leftrightarrow x=3 \pmod{\frac{21}{\text{ggT}(21,15)}}=3 \pmod {7} $$ Interessant: https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)#Rechenregeln