Question

Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem bzw, eine Fundamentalmatrix zur linearen homogenen Differentialgleichung
$$ \begin{array}{r} \vec{y}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} 2 t & -1 \\ 1 & 2 t \end{array}\right) \vec{y}(t), t \in \mathbb{R} \\ \text { Hinweis: Substitution } u(t):=y_{1}(t) \mathrm{e}^{-t^{2}}, v(t):=y_{2}(t) \mathrm{e}^{-t^{2}} \end{array} $$

Kann mir jemand den Lösungsweg für DGL dieser Form zeigen?

Answer 1

Hallo,

1) u'(t)= y₁' e^(-t^2) -y₁ 2t e^(-t^2)  ->  y1'(t)=

2) v'(t)= y₂' e^(-t^2) -y₂ 2t e^(-t^2)  --->y2'(t)=

Hinweis: Substitution

u(t):=y₁(t)e−t^2, y₁(t)= u(t)/ e^(-t2)

v(t):=y₂(t)e−t^2    y₂(t) =v(t)/ e^(-t^2)

die Aufgabe lautet:

y₁'= 2t y₁ -y₂

y₂'= y₁ +2ty₂

Setze dort y1 , y1' sowie y2 y2' ein

Du bekommst:

1) u'(t)= -v

2)v'(t)=  u ---------->u'= v''(t)

-------------

1) v''(t)= -v

v'' (t) +v=0

v= C2 sin(t) +C1 cos(t)

u= v'(t)= C2 cos(x) -C1 sin(x)

Setze das in den Hinweis ein und Du hast die Lösung:

y1=C₁ e^(t^2)cos(t) -C₂ e(t^2) sin(t)

y2=C₁ e^(t^2)sin(t) +C₂ e(t^2) cos(t)

------------>Fundamentalsystem

FS (  e^(t^2)cos(t) - e(t^2) sin(t)

      e^(t^2)sin(t)    e(t^2) cos(t) )