Zeigen Sie (mit Beweis), ob die Folge konvergent ist, und falls ja, bestimmen Sie ihre Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie (mit Beweis), ob die Folge
\( a_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k}}-\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} \)

konvergent ist, und falls ja, bestimmen Sie ihre Grenzwert.

Hallo, ich habe probleme bei dem Beweis.

Comments

Gib doch erstmal eine explizite Formel für a_n an. Die Summe kann man elementar berechnen.

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{2^k}-\frac{n^2-1}{n^2+1}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{2^k}-\frac{1}{2^0}-\frac{n^2-1}{n^2+1}=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{2}\right)^k-1-\frac{n^2-1}{n^2+1}$$Die summe ist eine geometrische Reihe mit \(q=\frac{1}{2}\), sodass wir sofort einen geschlossenen Term angeben können:$$a_n=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n^2+1}{n^2+1}-\frac{n^2-1}{n^2+1}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}}-\frac{n^2+1+n^2-1}{n^2+1}$$$$\phantom{a_n}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^n-\frac{2n^2}{n^2+1}=2-\frac{1}{2^n}-\frac{2n^2+2-2}{n^2+1}=2-\frac{1}{2^n}-2+\frac{2}{n^2+1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{2}{n^2+1}-\frac{1}{2^n}$$Nach dieser Umformung sollte der Rest klar sein...