Ist die Folge (a_{n})_{n} konvergent, und wenn ja, welchen Grenzwert hat sie?

Question

Aufgabe

Aufgabe 13:
Gegeben sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) mit den Gliedern
\( a_{n}=\frac{n(n+13)+22}{3 n^{2}+12 n+12}, \quad n \in \mathbb{N} \)
Untersuchen Sie die Konvergenz, indem Sie einen Folgenindex \( N \) derart bestimmen, dass \( \left|a_{n}-\frac{1}{3}\right|<\varepsilon \) für alle \( n \geq N \), wenn
(i) \( \varepsilon=\frac{1}{10} \),
(ii) \( \varepsilon=\frac{1}{100} \),
(iii) \( \varepsilon>0 \) beliebig ist.
Ist die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergent, und wenn ja, welchen Grenzwert hat sie?

Problem/Ansatz:

Eine Lösung bitte

Text erkannt:

Aufgabe 13:
Gegeben sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) mit den Gliedern
\( a_{n}=\frac{n(n+13)+22}{3 n^{2}+12 n+12}, \quad n \in \mathbb{N} \)
Untersuchen Sie die Konvergenz, indem Sie einen Folgenindex \( N \) derart bestimmen, dass \( \left|a_{n}-\frac{1}{3}\right|<\varepsilon \) für alle \( n \geq N \), wenn
(i) \( \varepsilon=\frac{1}{10} \),
(ii) \( \varepsilon=\frac{1}{100} \),
(iii) \( \varepsilon>0 \) beliebig ist.
Ist die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergent, und wenn ja, welchen Grenzwert hat sie?

Answer 1

\(  \frac{n(n+13)+22}{3 n^{2}+12 n+12} - \frac{1}{3}  \)

erst mal was vereinfachen zu \(  \frac{3}{n+2}  \).

Der Betrag spielt auch keine Rolle, das ist ja nie negativ.

\(  \frac{3}{n+2} \lt \frac{1}{10} \) <=> \(  30 \lt n+2 \)  <=> \(  28 \lt n \)

Also gilt bei (i)   N=28  entsprechend bei (ii) N=298

und allgemein N = erste nat. Zahl die größer 3/ε  - 2  ist.

Weil es also für jedes pos. ε  so einN gibt ist der Grenzwert 1/3.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Folgenterm lässt sich gut vereinfachen:$$a_n=\frac{n(n+13)+22}{3n^2+12n+12}=\frac{n^2+13n+22}{3(n^2+4n+4)}=\frac{(n+11)(n+2)}{3(n+2)^2}=\frac{n+11}{3(n+2)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n+2+9}{3(n+2)}=\frac{n+2}{3(n+2)}+\frac{9}{3(n+2)}=\frac13+\frac{3}{n+2}$$

Der Grenzwert ist offensichtlich \(a=\frac13\). Um das formal zu zeigen, wählen wir ein \(\varepsilon>0\) beliebig und halten es fest. Wir prüfen, ob es ein \(n_0\in\mathbb N\) gibt, sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|a_n-\frac13\right|<\varepsilon\Longleftrightarrow\frac{3}{n+2}<\varepsilon\Longleftrightarrow\frac{n+2}{3}>\varepsilon\Longleftrightarrow n>3\varepsilon-2$$Für alle \(n\ge n_0\coloneqq\left\lceil3\varepsilon-2\right\rceil\) gilt also \(\left|a_n-\frac13\right|<\varepsilon\).