Suche Lösung Extremwerta.

Question

Aufgabe:

Die Punkte A (x/0) B (x/f(x)) C (-x /f(-x) und D (-x/0) bilden ein achsenparalleles Rechteck (0<x<1) Skizzieren Sie ein mögliches Rechteck in ein Koordinatensystem und geben Sie eine Gleichung zur Berechnung des Flächeninhaltes dieses Rechtecks in Abhängigkeit von x an. Beschreiben
Sie die Vorgehensweise zur Berechnung von x so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.

Problem/Ansatz:

Extremwertaufgabe, HB sollte ja die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks sein. Was ist die NB? Wie sieht die Lösung aus? Mir fehlt die Idee. Um A Maximal zu bekommen muss x ja auf 0,99 gesetzt werden oder? Danke für die Hilfe.

Comments

Ist denn für die Funktion f gar nichts Konkretes vorgegeben ?

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Oh doch: r⁴-5r²+4

Answer 1

So sieht es aus:

$$ A(x)=2x\cdot f(x)=2(x^5-5x^3+4x) $$

$$ A'(x)=2(5x^4-15x^2+4)$$

$$ 0=5x^4-15x^2+4 ~~~~|:5~~~~~x^2=z$$
$$ 0=z^2-3z+0,8$$

$$ z_{12}=1,5\pm\sqrt{2,25-0,8}=1,5\pm\sqrt{1,45}$$

usw.

\( x \approx 0.54391 \)

Comments

\(A(x)=x\cdot f(x)= \dots\)

\(A(x)=2x\cdot f(x)= \cdots\) spielt natürlich für die Lage des Extremums keine Rolle.

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Coole Animation ;)

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@Werner:

Danke für den Hinweis.

@Anton:

;-)

Answer 2

Wenn man z.B. f(x) = 3-x^2 nimmt, könnte es so

aussehen:

~plot~ 3-x^2; x=0.8;x=-0.8;2.36 ~plot~

Das Rechteck hat dann eine Breite von 2x und

eine Höhe von f(x). Also ist die

Fläche A(x) = 2x*f(x) und die

Funktionsgleichung von f liefert die NB.

Comments

Sorry, die Ausgangsfunktion lautet: r⁴-5r²+4

Answer 3

Die Fläche A(x) eines Rechtecks mit den Eckpunkten A (x/0) B (x/f(x)) C (-x /f(-x) und D (-x/0) ist A(x)=x·(x⁴-5x²+4). Dann ist A(x)=x⁵-5x³+4x. Die Vorgehensweise zur Berechnung von x so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird, ist dann:

Nullstelle der 1. Ableitung berechnen: A'(x)=5x⁴-15x²+4 also 0=5x⁴-15x²+4. Setze x²=z dann musst du die Gleichung 5z²-15z+4=0 lösen und resubstituieren. Alle Lösungen auf Maximum untersuchen.

Comments

Sorry, die Ausgangsfunktion lautet: r⁴-5r²+4

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Habe meine Antwort angepasst.

Answer 4

Damit ein achsenparalleles Rechteck entsteht muß
die Funktion achsenparallel zur y-Achse sein.
Vorschlag
f ( x ) = x^2
Fläche Rechteck
Da x zwischen 0 und 1 liegen soll gilt
A ( x ) = x * f ( x )
A ( x ) = x * x^2 = x^3

1.Ableitung
A ´( x ) = 3 * x^2
Stelle mit waagerechter Tangente
3 * x^2 = 0
x = 0
Nun ist die Fläche bei x = 0 null.
Die Stelle ist ein Minimum.
Es gibt nur 1 Extremum.

Zu untersuchen ist das sogeannte Randmaximum
A ( 1 ) = 1^3 = 1
Die max Fläche des Rechtecks zwischen 0 < x < 1 ist
1.

Comments

Sorry, die Ausgangsfunktion lautet: r⁴-5r²+4

Answer 5

f(x) = x^4 - 5·x^2 + 4

Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung des Flächeninhaltes dieses Rechtecks in Abhängigkeit von x an.

A(x) = 2·x·f(x)

A(x) = 2·x·(x^4 - 5·x^2 + 4)

A(x) = 2·x^5 - 10·x^3 + 8·x

Beschreiben Sie die Vorgehensweise zur Berechnung von x so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.

A'(x) = 10·x^4 - 30·x^2 + 8 = 0 --> x = 0.5439 LE

A(0.5439) = 2·0.5439^5 - 10·0.5439^3 + 8·0.5439 = 2.837 FE